题目
4.设α、β为三维列向量,矩阵 =alpha (alpha )^T+(beta beta )^T, 证明:-|||-(1) (A)leqslant 2-|||-(2)若α、β线性相关,则 (A)lt 2
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $r(A) \leqslant 2$
矩阵 $A = \alpha \alpha^T + \beta \beta^T$ 可以看作是两个秩为1的矩阵之和。因为 $\alpha \alpha^T$ 和 $\beta \beta^T$ 都是秩为1的矩阵，所以 $A$ 的秩最多为2。这是因为两个秩为1的矩阵之和的秩不会超过2。
步骤 2：证明若 $\alpha$、$\beta$ 线性相关，则 $r(A) < 2$
如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 线性相关，那么存在一个非零常数 $k$ 使得 $\beta = k\alpha$。因此，矩阵 $A$ 可以写成 $A = \alpha \alpha^T + k\alpha \alpha^T = (1+k)\alpha \alpha^T$。由于 $\alpha \alpha^T$ 的秩为1，所以 $(1+k)\alpha \alpha^T$ 的秩也为1。因此，$r(A) < 2$。
矩阵 $A = \alpha \alpha^T + \beta \beta^T$ 可以看作是两个秩为1的矩阵之和。因为 $\alpha \alpha^T$ 和 $\beta \beta^T$ 都是秩为1的矩阵，所以 $A$ 的秩最多为2。这是因为两个秩为1的矩阵之和的秩不会超过2。
步骤 2：证明若 $\alpha$、$\beta$ 线性相关，则 $r(A) < 2$
如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 线性相关，那么存在一个非零常数 $k$ 使得 $\beta = k\alpha$。因此，矩阵 $A$ 可以写成 $A = \alpha \alpha^T + k\alpha \alpha^T = (1+k)\alpha \alpha^T$。由于 $\alpha \alpha^T$ 的秩为1，所以 $(1+k)\alpha \alpha^T$ 的秩也为1。因此，$r(A) < 2$。