4.一平面经过直线(即直线在平面上) l: (x+5)/(3)=(y-2)/(1)=(z)/(4)，且垂直于平面x+y-z+15=0，求该平面的方程.

考查要点：本题主要考查平面方程的求解，涉及直线的方向向量、平面法向量的性质，以及向量叉乘的应用。

解题核心思路：

1. 确定所求平面的法向量：由于所求平面需同时垂直于已知平面（法向量点积为0）且包含给定直线（法向量与直线方向向量垂直），因此法向量应为两已知向量的叉乘结果。
2. 利用直线上一点代入点法式方程：通过直线上的已知点，代入法向量即可确定平面方程。

破题关键点：

• 直线方向向量：由直线方程直接读取。
• 已知平面法向量：由平面方程系数直接得出。
• 叉乘求法向量：通过方向向量与已知法向量的叉乘得到所求平面的法向量。

步骤1：确定直线方向向量与已知平面法向量

• 直线 $l$ 的方向向量 $\overrightarrow{s} = (3, 1, 4)$。
• 已知平面 $x + y - z + 15 = 0$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1} = (1, 1, -1)$。

步骤2：计算所求平面的法向量

所求平面的法向量 $\overrightarrow{n}$ 需同时垂直于 $\overrightarrow{s}$ 和 $\overrightarrow{n_1}$，因此通过向量叉乘计算：
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{s} \times \overrightarrow{n_1} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\3 & 1 & 4 \\1 & 1 & -1\end{vmatrix} = (-5, 7, 2)$

步骤3：代入点法式方程

直线 $l$ 过点 $(-5, 2, 0)$，代入点法式方程：
$-5(x + 5) + 7(y - 2) + 2z = 0$
展开并整理得：
$5x - 7y - 2z + 39 = 0$