微分方程 y' + (1)/(x)y = (sin x)/(x) 的通解为()A. y = (1)/(x)(-cos x + C)B. y = (1)/(x)(cos x + C)C. y = (1)/(x)(-sin x + C)D. y = (1)/(x)(sin x + C)

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解。解题思路是先确定一阶线性非齐次微分方程的标准形式，然后找出对应的$P(x)$和$Q(x)$，再利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$来求解。

步骤一：确定$P(x)$和$Q(x)$

对于一阶线性非齐次微分方程$y' + P(x)y = Q(x)$，给定的微分方程$y' + \frac{1}{x}y = \frac{\sin x}{x}$，可以看出$P(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=\frac{\sin x}{x}$。

步骤二：计算$e^{-\int P(x)dx}$

先计算$\int P(x)dx$，即$\int\frac{1}{x}dx$，根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|$，所以$e^{-\int P(x)dx}=e^{-\ln|x|}$。
根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^a$和$e^{\ln a}=a$，可得$e^{-\ln|x|}=e^{\ln|x|^{-1}}=\frac{1}{x}$。

步骤三：计算$e^{\int P(x)dx}$

因为$\int P(x)dx=\ln|x|$，所以$e^{\int P(x)dx}=e^{\ln|x|}=x$。

步骤四：计算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$

将$Q(x)=\frac{\sin x}{x}$和$e^{\int P(x)dx}=x$代入$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$，得到$\int\frac{\sin x}{x}\cdot xdx=\int\sin xdx$。
根据积分公式$\int\sin xdx=-\cos x + C_1$（$C_1$为常数），这里我们只需要一个原函数，所以取$\int\sin xdx=-\cos x$。

步骤五：计算通解$y$

将$e^{-\int P(x)dx}=\frac{1}{x}$和$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=-\cos x$代入通解公式$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$，可得：
$y=\frac{1}{x}(-\cos x + C)$