题目
【题目】设在时间t(分钟)内,通过某交叉路口的汽车数服从参数与t成正比的泊松分布,已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内最多一辆汽车通过的概率
【题目】设在时间t(分钟)内,通过某交叉路口的汽车数服从参数与t成正比的泊松分布,已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内最多一辆汽车通过的概率
题目解答
答案
【解析】解设t时间内通过的汽车数为X,则X的概率分布为P( k=((at)^k)/(k!)e^(-a)(a0,k=0,1,2,⋯) =((at)^2)/(b+1)(a0,b=0,-a,-a,-1,2,⋯,60)(a0,k=0,1,2,…;t=1,2,…,60).因为1分钟内没有汽车通过的概率为0.2,所以P(:=0)=c-=2故a=-ln0.2=ln5又因为 P{X2=k)=(2n5)4_-=5，k=0，1，2…所以 P(X_2≤1)P=P(X_2=0)+P(X_2)=1)=((2ln5)^0)/(0!)e^(-2ln5)+(2ln5)/(1!)e^(-2ln5)=e^(-2ln5)[1+2ln5] =1/(25)(1+2ln5)
解析
步骤 1：确定泊松分布的参数
已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，设泊松分布的参数为λt，其中λ是比例常数，t是时间。因此，1分钟内没有汽车通过的概率为P(X=0) = e^(-λ) = 0.2。由此可以求出λ = -ln(0.2) = ln(5)。
步骤 2：计算2分钟内最多一辆汽车通过的概率
在2分钟内，泊松分布的参数变为2λ = 2ln(5)。我们需要计算在2分钟内最多一辆汽车通过的概率，即P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1)。根据泊松分布的概率公式，P(X=k) = (e^(-2ln(5)) * (2ln(5))^k) / k!，其中k=0,1。
步骤 3：计算P(X=0)和P(X=1)
P(X=0) = e^(-2ln(5)) = 1/25
P(X=1) = (e^(-2ln(5)) * (2ln(5))^1) / 1! = (2ln(5)) / 25
步骤 4：计算P(X≤1)
P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 1/25 + (2ln(5)) / 25 = (1 + 2ln(5)) / 25
已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，设泊松分布的参数为λt，其中λ是比例常数，t是时间。因此，1分钟内没有汽车通过的概率为P(X=0) = e^(-λ) = 0.2。由此可以求出λ = -ln(0.2) = ln(5)。
步骤 2：计算2分钟内最多一辆汽车通过的概率
在2分钟内，泊松分布的参数变为2λ = 2ln(5)。我们需要计算在2分钟内最多一辆汽车通过的概率，即P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1)。根据泊松分布的概率公式，P(X=k) = (e^(-2ln(5)) * (2ln(5))^k) / k!，其中k=0,1。
步骤 3：计算P(X=0)和P(X=1)
P(X=0) = e^(-2ln(5)) = 1/25
P(X=1) = (e^(-2ln(5)) * (2ln(5))^1) / 1! = (2ln(5)) / 25
步骤 4：计算P(X≤1)
P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 1/25 + (2ln(5)) / 25 = (1 + 2ln(5)) / 25