【例6.14】设A=(}2&1&11&2&11&1&2),则A与B ()A. 合同且相似.B. 合同但不相似.C. 不合同但相似.D. 不合同且不相似.

考查要点：本题主要考查矩阵的合同与相似的判定条件，涉及特征值的计算及惯性定理的应用。

解题思路：

1. 相似性判断：若两矩阵相似，则它们的特征值必须完全相同（包括重数）。因此需分别计算矩阵$A$和$B$的特征值并比较。
2. 合同性判断：若两对称矩阵合同，则它们的正惯性指数和负惯性指数必须相同。由于$A$和$B$均为对称矩阵，可通过计算它们的特征值的正负情况判断合同性。

特征值计算

矩阵$A$的特征值

矩阵$A$为对称矩阵，形式为：
$A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\1 & 2 & 1 \\1 & 1 & 2\end{pmatrix}$
观察法：

• 向量$\mathbf{v}_1 = (1,1,1)^T$对应的特征值为$4$（验证：$A\mathbf{v}_1 = 4\mathbf{v}_1$）。
• 对于与$\mathbf{v}_1$正交的向量（如$(1,-1,0)^T$、$(1,1,-2)^T$等），特征值均为$1$。
  因此，$A$的特征值为$\boxed{1, 1, 4}$。

矩阵$B$的特征值

矩阵$B$为分块对角矩阵：
$B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 1 \\0 & 1 & 2\end{pmatrix}$
分块计算：

• 左上角的$1$直接对应一个特征值$\lambda_1 = 1$。
• 右下角的子矩阵$\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$的特征值为$3$和$1$（计算：解方程$(2-\lambda)^2 - 1 = 0$）。
  因此，$B$的特征值为$\boxed{1, 1, 3}$。

相似性判断

• $A$的特征值为$1, 1, 4$，$B$的特征值为$1, 1, 3$，特征值不同，故$A$与$B$不相似。

合同性判断

• 两矩阵均为对称矩阵，且所有特征值均为正数（正惯性指数均为$3$，负惯性指数均为$0$），根据惯性定理，$A$与$B$合同。