函数 f(x)= x^2 + 2x - 1 在区间 [0, 2] 上应用拉格朗日中值定理时，满足定理要求的 xi = ( ).A. (1)/(3)B. 1C. (2)/(3)D. (3)/(2)

拉格朗日中值定理的核心是：若函数在闭区间$[a,b]$上连续且在开区间$(a,b)$内可导，则存在一点$\xi \in (a,b)$，使得导数$f'(\xi)$等于区间内的平均变化率$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。本题的关键在于：

1. 验证函数满足定理条件（多项式函数天然满足）；
2. 计算端点函数值求出平均变化率；
3. 求导并解方程找到满足条件的$\xi$。

步骤1：计算端点函数值

• $f(2)$：
  $f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 - 1 = 4 + 4 - 1 = 7$
• $f(0)$：
  $f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 1 = -1$

步骤2：求平均变化率

$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{7 - (-1)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

步骤3：求导并解方程

• 导数：
  $f'(x) = 2x + 2$
• 方程：
  $2\xi + 2 = 4 \implies 2\xi = 2 \implies \xi = 1$

步骤4：验证$\xi$是否在区间内

$\xi = 1 \in (0, 2)$，满足条件。