题目
盒中有12只晶体管，其中10只正品，2只次品，现从中任取3只，设3只中所含次品数为ξ，试写出ξ的分布列．
盒中有12只晶体管，其中10只正品，2只次品，现从中任取3只，设3只中所含次品数为ξ，试写出ξ的分布列．
题目解答
答案
解：盒中有12只晶体管，其中10只正品，2只次品，现从中任取3只，
设3只中所含次品数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{6}{11}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{9}{22}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{22}$．
∴ξ的分布列为：
设3只中所含次品数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{6}{11}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{9}{22}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{22}$．
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{6}{11}$ | $\frac{9}{22}$ | $\frac{1}{22}$ |
解析
步骤 1：确定随机变量ξ的可能取值
ξ的可能取值为0，1，2，分别表示取出的3只晶体管中次品数为0，1，2。
步骤 2：计算P(ξ=0)
P(ξ=0)表示取出的3只晶体管中没有次品的概率，即从10只正品中取出3只的概率，计算公式为：
\[ P(ξ=0) = \frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{3}} \]
其中，${C}_{10}^{3}$表示从10只正品中取出3只的组合数，${C}_{12}^{3}$表示从12只晶体管中取出3只的组合数。
\[ P(ξ=0) = \frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{3}} = \frac{120}{220} = \frac{6}{11} \]
步骤 3：计算P(ξ=1)
P(ξ=1)表示取出的3只晶体管中恰好有1只次品的概率，即从2只次品中取出1只，从10只正品中取出2只的概率，计算公式为：
\[ P(ξ=1) = \frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{3}} \]
\[ P(ξ=1) = \frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{3}} = \frac{2 \times 45}{220} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22} \]
步骤 4：计算P(ξ=2)
P(ξ=2)表示取出的3只晶体管中恰好有2只次品的概率，即从2只次品中取出2只，从10只正品中取出1只的概率，计算公式为：
\[ P(ξ=2) = \frac{{C}_{2}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{3}} \]
\[ P(ξ=2) = \frac{{C}_{2}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{3}} = \frac{1 \times 10}{220} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22} \]
ξ的可能取值为0，1，2，分别表示取出的3只晶体管中次品数为0，1，2。
步骤 2：计算P(ξ=0)
P(ξ=0)表示取出的3只晶体管中没有次品的概率，即从10只正品中取出3只的概率，计算公式为：
\[ P(ξ=0) = \frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{3}} \]
其中，${C}_{10}^{3}$表示从10只正品中取出3只的组合数，${C}_{12}^{3}$表示从12只晶体管中取出3只的组合数。
\[ P(ξ=0) = \frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{3}} = \frac{120}{220} = \frac{6}{11} \]
步骤 3：计算P(ξ=1)
P(ξ=1)表示取出的3只晶体管中恰好有1只次品的概率，即从2只次品中取出1只，从10只正品中取出2只的概率，计算公式为：
\[ P(ξ=1) = \frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{3}} \]
\[ P(ξ=1) = \frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{3}} = \frac{2 \times 45}{220} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22} \]
步骤 4：计算P(ξ=2)
P(ξ=2)表示取出的3只晶体管中恰好有2只次品的概率，即从2只次品中取出2只，从10只正品中取出1只的概率，计算公式为：
\[ P(ξ=2) = \frac{{C}_{2}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{3}} \]
\[ P(ξ=2) = \frac{{C}_{2}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{3}} = \frac{1 \times 10}{220} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22} \]