题目
设f(x)在R上有定义, (0)=1, 且满足:-|||-lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1-2x)+2xf(x))({x)^2}=0-|||-证明:f(x)在 x=0 处可导,并求f`(0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用泰勒展开式
首先，我们利用泰勒展开式对 $\ln(1-2x)$ 进行展开。泰勒展开式为 $\ln(1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3-\cdots$。因此，$\ln(1-2x)=-2x-\dfrac{1}{2}(2x)^2+\dfrac{1}{3}(2x)^3-\cdots$。展开到二阶项，我们得到 $\ln(1-2x)=-2x-2x^2+\cdots$。
步骤 2：代入原式
将 $\ln(1-2x)$ 的展开式代入原式 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=0$，得到 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-2x-2x^2+2xf(x)}{x^2}=0$。化简得到 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-2-2x+2f(x)}{x}=0$。
步骤 3：求解f'(0)
由于 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-2-2x+2f(x)}{x}=0$，可以得到 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2f(x)-2}{x}=2$。因此，$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=1$。根据导数的定义，$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1$。因此，f(x)在 x=0 处可导，且 f'(0)=1。
首先，我们利用泰勒展开式对 $\ln(1-2x)$ 进行展开。泰勒展开式为 $\ln(1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3-\cdots$。因此，$\ln(1-2x)=-2x-\dfrac{1}{2}(2x)^2+\dfrac{1}{3}(2x)^3-\cdots$。展开到二阶项，我们得到 $\ln(1-2x)=-2x-2x^2+\cdots$。
步骤 2：代入原式
将 $\ln(1-2x)$ 的展开式代入原式 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=0$，得到 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-2x-2x^2+2xf(x)}{x^2}=0$。化简得到 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-2-2x+2f(x)}{x}=0$。
步骤 3：求解f'(0)
由于 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-2-2x+2f(x)}{x}=0$，可以得到 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2f(x)-2}{x}=2$。因此，$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=1$。根据导数的定义，$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1$。因此，f(x)在 x=0 处可导，且 f'(0)=1。