要造一圆柱形油罐，体积为V，问底面半径r和高h等于多少时，才能使油罐的表面积最小？这时底面直径与高的比是多少？

步骤 1：确定圆柱体的体积和表面积公式
圆柱体的体积$V$由底面半径$r$和高$h$决定，公式为$V=\pi r^2h$。圆柱体的表面积$S$包括底面和侧面，公式为$S=2\pi r^2+2\pi rh$。

步骤 2：构造拉格朗日函数
为了找到表面积$S$的最小值，同时满足体积$V$的约束条件，我们构造拉格朗日函数$I(r,h,\lambda )=2\pi r^2+2\pi rh+\lambda (\pi r^2h-V)$，其中$\lambda$是拉格朗日乘数。

步骤 3：求解拉格朗日函数的偏导数
对拉格朗日函数$I(r,h,\lambda )$分别对$r$、$h$和$\lambda$求偏导数，并令其等于0，得到方程组：
${I}_{r}=4\pi r+2\pi h+2\lambda \pi rh=0$
${I}_{h}=2\pi r+\lambda \pi r^2=0$
${I}_{\lambda }=V-\pi r^2h=0$

步骤 4：解方程组
解上述方程组，得到$r$和$h$的值。首先从${I}_{h}=0$中解出$\lambda =-\frac{2}{r}$，然后将$\lambda$的值代入${I}_{r}=0$中，得到$4\pi r+2\pi h-4\pi rh=0$，即$2r+h-2rh=0$。再结合${I}_{\lambda }=0$，即$V=\pi r^2h$，可以解出$r$和$h$的值。

步骤 5：计算$r$和$h$的值
由$V=\pi r^2h$和$2r+h-2rh=0$，解得$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$，$h=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$。

步骤 6：计算底面直径与高的比
底面直径为$2r$，高为$h$，所以底面直径与高的比为$\frac{2r}{h}=\frac{2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}=1$。