一部电话机键盘上有10个数字键(0~9)。设发送数字1的概率为0.3,发送数字3和8的概率分别为0.14,发送数字2,4,5,6,7,9和0的概率分别为0.06,。试求: (1)每键的平均信息量(熵); (2)如果按键速率为2个/s,试计算传输的信息速率。

考查要点：本题主要考查信息熵的计算和信息速率的计算，属于信息论基础内容。

解题核心思路：

1. 第一问：计算每键的平均信息量（熵），需用香农熵公式，即对每个数字键的概率取信息量后求和。
2. 第二问：信息速率由熵与符号速率的乘积得出，需注意单位转换。

破题关键点：

• 正确应用公式：熵公式为 $H = -\sum p_i \log_2 p_i$，需准确代入各概率值。
• 分类计算：题目中概率分布不均匀，需分组计算（如数字1、3、8和其他数字）。
• 单位理解：信息速率单位为比特/秒（b/s），需将“键/秒”与“比特/键”相乘。

第（1）题：每键的平均信息量（熵）

1. 确定概率分布：

   • 数字1的概率：$p_1 = 0.3$
   • 数字3和8的概率：$p_3 = p_8 = 0.14$
   • 其余7个数字（2,4,5,6,7,9,0）的概率：$p_i = 0.06$

2. 计算各组信息量：

   • 数字1：$-0.3 \log_2 0.3 \approx 0.5211$ b
   • 数字3和8：$2 \times [-0.14 \log_2 0.14] \approx 2 \times 0.4329 = 0.8658$ b
   • 其他7个数字：$7 \times [-0.06 \log_2 0.06] \approx 7 \times 0.2355 = 1.6485$ b

3. 求和得熵：
   $H = 0.5211 + 0.8658 + 1.6485 \approx 3.02 \, \text{b/键}$

第（2）题：传输的信息速率

1. 公式应用：
   信息速率 $R = H \times \text{符号速率}$，其中符号速率为 $2$ 键/秒。

2. 代入计算：
   $R = 3.02 \, \text{b/键} \times 2 \, \text{键/秒} = 6.04 \, \text{b/s}$