题目
*（2）iiintsqrt(x^2)+y^(2+z^2)dV，其中Ω是由球面x^2+y^2+z^2=z所围成的闭区域；
*（2）$\iiint\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}dV$，其中Ω是由球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$所围成的闭区域；
题目解答
答案
在球坐标系中，球面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = z$ 转换为 $r = \cos \varphi$。积分区域为 $0 \le r \le \cos \varphi$，$0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$，$0 \le \theta \le 2\pi$。
被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = r$，体积元素 $dV = r^2 \sin \varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta$。
积分变为：
\[
\iiint r^3 \sin \varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \, d\varphi \int_0^{\cos \varphi} r^3 \, dr.
\]
先对 $r$ 积分得 $\frac{\cos^4 \varphi}{4}$，再对 $\varphi$ 积分（令 $u = \cos \varphi$）得 $\frac{1}{20}$，最后对 $\theta$ 积分得 $\frac{\pi}{10}$。
答案：$\boxed{\frac{\pi}{10}}$
解析
步骤 1：转换球面方程
球面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = z$ 可以转换为球坐标系中的形式。球坐标系中，$x = r \sin \varphi \cos \theta$，$y = r \sin \varphi \sin \theta$，$z = r \cos \varphi$。将这些代入球面方程，得到 $r^2 = r \cos \varphi$，即 $r = \cos \varphi$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域为 $0 \le r \le \cos \varphi$，$0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$，$0 \le \theta \le 2\pi$。
步骤 3：确定被积函数和体积元素
被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = r$，体积元素 $dV = r^2 \sin \varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta$。
步骤 4：计算三重积分
积分变为：\[ \iiint r^3 \sin \varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \, d\varphi \int_0^{\cos \varphi} r^3 \, dr. \] 先对 $r$ 积分得 $\frac{\cos^4 \varphi}{4}$，再对 $\varphi$ 积分（令 $u = \cos \varphi$）得 $\frac{1}{20}$，最后对 $\theta$ 积分得 $\frac{\pi}{10}$。
球面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = z$ 可以转换为球坐标系中的形式。球坐标系中，$x = r \sin \varphi \cos \theta$，$y = r \sin \varphi \sin \theta$，$z = r \cos \varphi$。将这些代入球面方程，得到 $r^2 = r \cos \varphi$，即 $r = \cos \varphi$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域为 $0 \le r \le \cos \varphi$，$0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$，$0 \le \theta \le 2\pi$。
步骤 3：确定被积函数和体积元素
被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = r$，体积元素 $dV = r^2 \sin \varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta$。
步骤 4：计算三重积分
积分变为：\[ \iiint r^3 \sin \varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \, d\varphi \int_0^{\cos \varphi} r^3 \, dr. \] 先对 $r$ 积分得 $\frac{\cos^4 \varphi}{4}$，再对 $\varphi$ 积分（令 $u = \cos \varphi$）得 $\frac{1}{20}$，最后对 $\theta$ 积分得 $\frac{\pi}{10}$。