题目
例9 计算下列二重积分.-|||-(1) iint (x)^2+(y)^2-2y|dtheta , 其中D由 ^2+(y)^2leqslant 4 所确定;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D由圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 确定，即半径为2的圆。该圆的中心在原点，半径为2。
步骤 2：确定被积函数的正负区域
被积函数为 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y$，我们先求出该函数等于0的曲线，即 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y=0$。通过配方，可以得到 ${x}^{2}+(y-1)^{2}=1$，这是一个以(0,1)为圆心，半径为1的圆。这个圆将积分区域D分为两部分，一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\geqslant 0$，另一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\leqslant 0$。
步骤 3：计算二重积分
根据步骤2，我们把积分区域D分为两部分，一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\geqslant 0$，另一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\leqslant 0$。然后分别计算这两部分的积分，最后将结果相加。
积分区域D由圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 确定，即半径为2的圆。该圆的中心在原点，半径为2。
步骤 2：确定被积函数的正负区域
被积函数为 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y$，我们先求出该函数等于0的曲线，即 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y=0$。通过配方，可以得到 ${x}^{2}+(y-1)^{2}=1$，这是一个以(0,1)为圆心，半径为1的圆。这个圆将积分区域D分为两部分，一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\geqslant 0$，另一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\leqslant 0$。
步骤 3：计算二重积分
根据步骤2，我们把积分区域D分为两部分，一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\geqslant 0$，另一部分是 ${x}^{2}+{y}^{2}-2y\leqslant 0$。然后分别计算这两部分的积分，最后将结果相加。