题目
求曲线y=x^2−2x ， y=0 ， x=1 ， x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。
求曲线$$y=x^2−2x ， y=0 ， x=1 ， x=3$$所围成的平面图形的面积$$S$$，并求该平面图形绕$$y$$轴旋转一周所得旋转体的体积$$V$$。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
根据题目条件，曲线$$y=x^2−2x$$与$$y=0$$的交点为$$x=0$$和$$x=2$$，但题目中给出了$$x=1$$和$$x=3$$作为边界，因此积分区间为$$[1,2]$$和$$[2,3]$$。
步骤 2：计算平面图形的面积
平面图形的面积$$S$$可以通过计算两个积分的和来得到，即$$S={\int }_{1}^{2}(0-y)dx+{\int }_{2}^{3}(y-0)dx$$。将$$y=x^2−2x$$代入，得到$$S={\int }_{1}^{2}(2x-{x}^{2})dx+{\int }_{2}^{3}({x}^{2}-2x)dx$$。计算这两个积分，得到$$S=[ (4-\dfrac {8}{3})-(1-\dfrac {1}{3})] +[ (9-9)-(\dfrac {8}{3}-4)] =2$$。
步骤 3：计算旋转体的体积
旋转体的体积$$V$$可以通过计算两个积分的和来得到，即$$V={\int }_{1}^{2}2\pi x(2x-{x}^{2})dx+{\int }_{2}^{3}2\pi x({x}^{2}-2x)dx$$。将$$y=x^2−2x$$代入，得到$$V=2\pi {\int }_{1}^{2}(2{x}^{2}-{x}^{3})dx+2\pi {\int }_{2}^{3}({x}^{3}-2{x}^{2})dx$$。计算这两个积分，得到$$V=2\pi [ (\dfrac {16}{3}-4)-(\dfrac {2}{3}-\dfrac {1}{4})] +2\pi [ (\dfrac {81}{4}-18)-(4-\dfrac {16}{3})] =9\pi $$。
根据题目条件，曲线$$y=x^2−2x$$与$$y=0$$的交点为$$x=0$$和$$x=2$$，但题目中给出了$$x=1$$和$$x=3$$作为边界，因此积分区间为$$[1,2]$$和$$[2,3]$$。
步骤 2：计算平面图形的面积
平面图形的面积$$S$$可以通过计算两个积分的和来得到，即$$S={\int }_{1}^{2}(0-y)dx+{\int }_{2}^{3}(y-0)dx$$。将$$y=x^2−2x$$代入，得到$$S={\int }_{1}^{2}(2x-{x}^{2})dx+{\int }_{2}^{3}({x}^{2}-2x)dx$$。计算这两个积分，得到$$S=[ (4-\dfrac {8}{3})-(1-\dfrac {1}{3})] +[ (9-9)-(\dfrac {8}{3}-4)] =2$$。
步骤 3：计算旋转体的体积
旋转体的体积$$V$$可以通过计算两个积分的和来得到，即$$V={\int }_{1}^{2}2\pi x(2x-{x}^{2})dx+{\int }_{2}^{3}2\pi x({x}^{2}-2x)dx$$。将$$y=x^2−2x$$代入，得到$$V=2\pi {\int }_{1}^{2}(2{x}^{2}-{x}^{3})dx+2\pi {\int }_{2}^{3}({x}^{3}-2{x}^{2})dx$$。计算这两个积分，得到$$V=2\pi [ (\dfrac {16}{3}-4)-(\dfrac {2}{3}-\dfrac {1}{4})] +2\pi [ (\dfrac {81}{4}-18)-(4-\dfrac {16}{3})] =9\pi $$。