一、填空题（每小题4分，共32分）1. lim_({(x,y) to (0,0))} (xy)/(sqrt(xy + 4 - 2)) = ______.2. 若 u = e^xy，则 (du)/(dx) = ______.3. p 级数 sum_(n=1)^infty (1)/(n^p)，当 p ____ 时，级数收敛.4. 设 boldsymbol(a) = (2,1,-1)，boldsymbol(b) = (1,-1,2)，计算 boldsymbol(a) cdot boldsymbol(b) = ____.5. 改换积分次序再计算二次积分 int_(0)^1 mathrm(d)x int_(0)^x (sin y)/(1-y) mathrm(d)y = ____.6. 将 int_(-2)^2 mathrm(d)x int_(-sqrt(4-x^2))^sqrt(4-x^2) f(x,y) mathrm(d)y 转化为极坐标形式下的二次积分为 ____.7. 曲面 x^2 + 3y^2 + z^2 = 11 在点 (2,1,2) 的切平面方程为 ____.8. 将 xOz 坐标面上的抛物线 z^2 = 5x 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 _____.

我们逐题进行分析和解答：

1.

$\lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{xy}{\sqrt{xy + 4 - 2}} = \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{xy}{\sqrt{xy + 2}}$

令 $ t = xy $，当 $ (x,y) \to (0,0) $，则 $ t \to 0 $。所以极限变为：

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{t + 2}} = \frac{0}{\sqrt{0 + 2}} = 0$

答案： $ \boxed{0} $

2.

设 $ u = e^{xy} $，求 $ \frac{du}{dx} $。

使用链式法则：

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} e^{xy} = e^{xy} \cdot \frac{d(xy)}{dx} = e^{xy} \cdot y = y e^{xy}$

答案： $ \boxed{y e^{xy}} $

3.

p级数：

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$

当 $ p > 1 $ 时，该级数收敛。

答案： $ \boxed{>1} $

4.

设 $ \boldsymbol{a} = (2,1,-1) $，$ \boldsymbol{b} = (1,-1,2) $，求 $ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $。

点积公式：

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 2 - 1 - 2 = -1$

答案： $ \boxed{-1} $

5.

计算：

$\int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{0}^{x} \frac{\sin y}{1-y} \mathrm{d}y$

原积分区域是 $ 0 \le y \le x \le 1 $。我们改换积分次序：

• $ y \in [0,1] $
• 对于固定的 $ y $，$ x \in [y,1] $

所以积分变为：

$\int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{1} \frac{\sin y}{1 - y} \mathrm{d}x$

注意到被积函数中不含 $ x $，所以对 $ x $ 积分只是乘上区间长度：

$\int_{0}^{1} \frac{\sin y}{1 - y} (1 - y) \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \sin y \mathrm{d}y = [-\cos y]_0^1 = -\cos(1) + \cos(0) = 1 - \cos(1)$

答案： $ \boxed{1 - \cos(1)} $

6.

将积分：

$\int_{-2}^{2} \mathrm{d}x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} f(x,y) \mathrm{d}y$

转化为极坐标下的积分。

积分区域是：
$x \in [-2,2],\quad y \in [-\sqrt{4 - x^2}, \sqrt{4 - x^2}]$

这表示的是圆 $ x^2 + y^2 \le 4 $，即半径为2的圆，整个区域是圆盘。

极坐标下：

• $ r \in [0, 2] $
• $ \theta \in [0, 2\pi] $

积分变为：

$\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \mathrm{d}r$

答案：
$\boxed{\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \mathrm{d}r}$

7.

曲面 $ x^2 + 3y^2 + z^2 = 11 $ 在点 $ (2,1,2) $ 处的切平面方程。

设曲面为 $ F(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + z^2 - 11 = 0 $

梯度向量 $ \nabla F = (2x, 6y, 2z) $，在点 $ (2,1,2) $ 处为：

$\nabla F = (4, 6, 4)$

切平面方程为：

$4(x - 2) + 6(y - 1) + 4(z - 2) = 0$

化简：

$4x - 8 + 6y - 6 + 4z - 8 = 0 \Rightarrow 4x + 6y + 4z = 22$

答案： $ \boxed{4x + 6y + 4z = 22} $

8.

将 $ xOz $ 平面上的抛物线 $ z^2 = 5x $ 绕 $ x $ 轴旋转一周，生成的旋转曲面方程。

旋转后，$ y $ 方向任意，所以将 $ z $ 换成 $ \sqrt{y^2 + z^2} $：

原式变为：

$(\sqrt{y^2 + z^2})^2 = 5x \Rightarrow y^2 + z^2 = 5x$

答案： $ \boxed{y^2 + z^2 = 5x} $

总结答案：

1. $ \boxed{0} $
2. $ \boxed{y e^{xy}} $
3. $ \boxed{>1} $
4. $ \boxed{-1} $
5. $ \boxed{1 - \cos(1)} $
6. $ \boxed{\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \mathrm{d}r} $
7. $ \boxed{4x + 6y + 4z = 22} $
8. $ \boxed{y^2 + z^2 = 5x} $