设随机变量X在区间[a.b]上服从均匀分布,且 (X)=1, ((X)^2)=4, 求a和b.

考查要点：本题主要考查均匀分布的期望与方差公式，以及如何通过已知条件建立方程组求解参数。

解题核心思路：

1. 利用均匀分布的期望公式：$E(X) = \frac{a + b}{2}$，结合已知条件$E(X) = 1$，建立第一个方程。
2. 通过方差公式间接求解：先计算方差$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4 - 1^2 = 3$，再结合均匀分布的方差公式$Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$，建立第二个方程。
3. 联立方程组求解$a$和$b$的值。

破题关键点：

• 正确应用均匀分布的期望和方差公式。
• 将$E(X^2)$转化为方差与期望的关系，避免直接计算积分。

步骤1：根据期望公式列方程

均匀分布的期望公式为：
$E(X) = \frac{a + b}{2}$
已知$E(X) = 1$，因此：
$\frac{a + b}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a + b = 2 \quad \text{(方程1)}$

步骤2：通过方差公式列方程

方差公式为：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4 - 1^2 = 3$
均匀分布的方差公式为：
$Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$
代入已知方差：
$\frac{(b - a)^2}{12} = 3 \quad \Rightarrow \quad (b - a)^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad b - a = 6 \quad \text{(方程2)}$

步骤3：联立方程组求解

联立方程1和方程2：
$\begin{cases}a + b = 2 \\b - a = 6\end{cases}$
将两式相加：
$(a + b) + (b - a) = 2 + 6 \quad \Rightarrow \quad 2b = 8 \quad \Rightarrow \quad b = 4$
将$b = 4$代入$a + b = 2$：
$a + 4 = 2 \quad \Rightarrow \quad a = -2$