题目
( 单选题 ) 很显然^xapprox x+1(xarrow 0)A 错 B 对
( 单选题 ) 很显然
A 错
B 对
题目解答
答案
∵由等价无穷小的定义可知：
所以
故答案选B
解析
步骤 1：定义等价无穷小
等价无穷小的定义是：当$x\rightarrow 0$时，如果$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$，则称$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，记作$f(x)\sim g(x)$。
步骤 2：计算极限
计算$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}}{x+1}$，利用泰勒展开式${e}^{x}=1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}+o({x}^{2})$，代入得$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}+o({x}^{2})}{x+1}$。
步骤 3：化简极限
化简得$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}+o({x}^{2})}{x+1}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}}{x+1}=1$。
等价无穷小的定义是：当$x\rightarrow 0$时，如果$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$，则称$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，记作$f(x)\sim g(x)$。
步骤 2：计算极限
计算$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}}{x+1}$，利用泰勒展开式${e}^{x}=1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}+o({x}^{2})$，代入得$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}+o({x}^{2})}{x+1}$。
步骤 3：化简极限
化简得$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}+o({x}^{2})}{x+1}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}}{x+1}=1$。