题目

1.5 设函数f(x)=lim_(ntoinfty)(1+x)/(1+x^2n)，关于该函数的间断点，下列结论正确的是（）.(A)不存在间断点 (B)存在间断点x=1(C)存在间断点x=0 (D)存在间断点x=-1

1.5 设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$，关于该函数的间断点，下列结论正确的是（）. (A)不存在间断点 (B)存在间断点x=1 (C)存在间断点x=0 (D)存在间断点x=-1

题目解答

答案

为了确定函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}}$ 的间断点，我们需要分析当 $n$ 趋向于无穷大时，表达式的行为，对于不同的 $x$ 值。

让我们根据 $x$ 的值考虑不同的情况：

  1. 情况 1: $|x| < 1$

    • 当 $n \to \infty$ 时，$x^{2n} \to 0$。
    • 因此，$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = \frac{1+x}{1+0} = 1+x$。

  2. 情况 2: $|x| > 1$

    • 当 $n \to \infty$ 时，$x^{2n} \to \infty$。
    • 为了简化表达式，我们可以将分子和分母都除以 $x^{2n}$：
      $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2n}} + \frac{x}{x^{2n}}}{\frac{1}{x^{2n}} + 1} = \frac{0 + 0}{0 + 1} = 0.$

  3. 情况 3: $x = 1$

    • 将 $x = 1$ 代入表达式，我们得到：
      $f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+1}{1+1^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1.$

  4. 情况 4: $x = -1$

    • 将 $x = -1$ 代入表达式，我们得到：
      $f(-1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+(-1)}{1+(-1)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{0}{1+1} = \frac{0}{2} = 0.$
      注意到 $(-1)^{2n} = 1$ 对于所有 $n$，因为 $2n$ 总是偶数。

从上述分析中，我们可以得出函数 $f(x)$ 的分段定义：
$f(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{如果 } |x| < 1, \\0 & \text{如果 } |x| > 1, \\1 & \text{如果 } x = 1, \\0 & \text{如果 } x = -1.\end{cases}$

现在，让我们检查函数的连续性：

  • 对于 $|x| < 1$，$f(x) = 1 + x$ 是一个连续函数。
  • 对于 $|x| > 1$，$f(x) = 0$ 是一个连续函数。
  • 在 $x = 1$ 处，$f(1) = 1$，但当 $x$ 从左边接近 1 时，$f(x) \to 2$，当 $x$ 从右边接近 1 时，$f(x) \to 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = 1$ 处是不连续的。
  • 在 $x = -1$ 处，$f(-1) = 0$，但当 $x$ 从左边或右边接近 -1 时，$f(x) \to 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = -1$ 处是连续的。

因此，函数 $f(x)$ 的唯一间断点在 $x = 1$。

正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

本题考查函数间断点的判断，解题的关键在于先求出函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$的表达式，再根据函数连续性的定义判断其间断点。

  1. 分析$\vert x\vert\lt1$时函数$f(x)$的表达式：
    当$\vert x\vert\lt1$时，随着$n\to\infty$，$x^{2n}\to0$。
    根据极限的运算法则，$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}=\frac{1+x}{1 + 0}=1 + x$。
  2. 分析$\vert x\vert\gt1$时函数$f(x)$的表达式：
    当$\vert x\vert\gt1$时，随着$n\to\infty$，$x^{2n}\to\infty$。
    为了便于计算极限，将分子分母同时除以$x^{2n}$，则$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{x^{2n}}+\frac{x}{x^{2n}}}{\frac{1}{x^{2n}} + 1}$。
    因为$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x^{2n}} = 0$，$\lim_{n\to\infty}\frac{x}{x^{2n}} = 0$，所以$f(x)=\frac{0 + 0}{0 + 1}=0$。
  3. 分析$x = 1$时函数$f(x)$的值：
    将$x = 1$代入函数表达式，可得$f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 1}{1 + 1^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1 + 1}=1$。
  4. 分析$x = -1$时函数$f(x)$的值：
    将$x = -1$代入函数表达式，因为$(-1)^{2n}=1$（$n\in N^+$），所以$f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1 + (-1)}{1 + (-1)^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{1 + 1}=0$。
  5. 得到函数$f(x)$的分段表达式：
    综合以上分析，函数$f(x)$的分段表达式为$f(x)=\begin{cases}1 + x, &\vert x\vert\lt1\\0, &\vert x\vert\gt1\\1, &x = 1\\0, &x = -1\end{cases}$。
  6. 判断函数的连续性：
    • 当$\vert x\vert\lt1$时，$f(x)=1 + x$是一次函数，是连续的。
    • 当$\vert x\vert\gt1$时，$f(x)=0$是常数函数，是连续的。
    • 当$x = 1$时，计算左右极限：
      • 左极限$\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}(1 + x)=1 + 1 = 2$。
      • 右极限$\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}0 = 0$。
        因为$\lim_{x\to1^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to1^{+}}f(x)$，所以函数$f(x)$在$x = 1$处不连续。
    • 当$x = -1$时，计算左右极限：
      • 左极限$\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}0 = 0$。
      • 右极限$\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}0 = 0$。
        且$f(-1)=0$，所以$\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=f(-1)$，函数$f(x)$在$x = -1$处连续。