题目

2、(6分)对于任意的事件A、B、C，已知P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(C)=0.2，求：(1) P(Aoverline(B))=0.3，求P(A∪B);(2) P(Acup B)=0.8，求P(overline(AB));(3) 若AC=∅，P(AB)=P(BC)=0.1，求P(AUBUC).

2、(6分)对于任意的事件A、B、C，已知P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(C)=0.2，求： (1) $P(A\overline{B})=0.3$，求P(A∪B); (2) $P(A\cup B)=0.8$，求$P(\overline{AB})$; (3) 若AC=∅，P(AB)=P(BC)=0.1，求$P(AUBUC)$.

题目解答

答案

(1) 由 $P(A\overline{B}) = 0.3$，得 $P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.6 - 0.3 = 0.3$。 故 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.4 - 0.3 = 0.7$。 (2) 由 $P(A \cup B) = 0.8$，得 $P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0.8 = 0.2$。 故 $P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB) = 0.4 - 0.2 = 0.2$。 (3) 由 $AC = \emptyset$，$P(AB) = P(BC) = 0.1$，得 $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) = 0.6 + 0.4 + 0.2 - 0.1 - 0 - 0.1 + 0 = 1$。 **答案：** (1) $0.7$ (2) $0.2$ (3) $1$ \[ \boxed{ \begin{array}{ccc} \text{(1) } 0.7 \\ \text{(2) } 0.2 \\ \text{(3) } 1 \\ \end{array} } \]

解析

  1. 第（1）题：考查事件分解与并事件概率公式。关键点在于通过已知的$P(A\overline{B})$求出$P(AB)$，再代入并事件公式。
  2. 第（2）题：考查补集概率的计算。需利用并事件概率公式求出$P(AB)$，再通过$P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB)$求解。
  3. 第（3）题：考查三事件并的概率公式。需注意$AC = \emptyset$的条件，导致$P(AC) = 0$且$P(ABC) = 0$，简化公式计算。

第（1）题

分解事件A

根据概率加法公式，$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$，得：
$P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.6 - 0.3 = 0.3$

计算并事件概率

代入公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.4 - 0.3 = 0.7$

第（2）题

求交事件概率

由并事件公式变形：
$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0.8 = 0.2$

计算补集概率

$P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB) = 0.4 - 0.2 = 0.2$

第（3）题

分析条件

$AC = \emptyset$说明$P(AC) = 0$，且$P(ABC) = 0$（因A与C互斥）。

代入三事件并公式

$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \\&= 0.6 + 0.4 + 0.2 - 0.1 - 0 - 0.1 + 0 \\&= 1\end{aligned}$