6.λ取何值时,线性方程组-|||- ) (x)_(1)+(x)_(2)+(2-lambda )(x)_(3)=1, (x)_(1)+(2-lambda )(x)_(2)+(x)_(3)=1, (x)_(1)+(2-lambda )(x)_(2)+(x)_(3)=lambda .-|||-(3-2λ)-|||-(1)有唯一解;(2)无解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求出通解.

考查要点：本题主要考查线性方程组解的情况判断，涉及行列式法、秩的判定以及通解的求解方法。

解题核心思路：

1. 行列式法：当系数矩阵行列式非零时，方程组有唯一解；
2. 秩判定法：当行列式为零时，通过比较系数矩阵与增广矩阵的秩判断无解或无穷解；
3. 通解结构：无穷解时，通过基础解系与特解组合表达。

破题关键点：

• 计算系数矩阵行列式，确定临界值$\lambda=1$和$\lambda=3$；
• 分析$\lambda=3$时增广矩阵秩大于系数矩阵秩，判定无解；
• 分析$\lambda=1$时方程组退化为单一方程，构造通解。

步骤1：构造系数矩阵与行列式

系数矩阵：
$A = \begin{bmatrix}2-\lambda & 1 & 2-\lambda \\1 & 2-\lambda & 1 \\1 & 2-\lambda & 3-2\lambda\end{bmatrix}$
计算行列式：
$|A| = -2(\lambda-1)^2(\lambda-3)$
结论：当$\lambda \neq 1$且$\lambda \neq 3$时，$|A| \neq 0$，方程组有唯一解。

步骤2：分析$\lambda=3$时方程组

系数矩阵秩为2，增广矩阵出现矛盾方程$0=2$，秩为3，故无解。

步骤3：分析$\lambda=1$时方程组

方程组退化为$x_1 + x_2 + x_3 = 1$，秩为1，解空间二维。通解形式为：
$\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$