题目
四、应用题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)-|||-18.编辑一本书,每一页纸张的面积是600 cm^2,且纸张的左右两侧需要3cm留白,上下两侧需要2cm留-|||-自,其余为编辑文字区域。纸张的长宽分别设计为多少时,编辑文字区域的面积最大.
题目解答
答案
本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
设纸张的长为xcm，则宽为600/xcm，表示出编辑文字区域的面积，利用基本不等式求出面积最大值即可．
设纸张的长为xcm，则宽为$\dfrac {600}{x}cm$，编辑文字区域的面积为y，
则$y=(x-6)(\dfrac {600}{x}-4)=624-(4x+\dfrac {3600}{x})\leqslant 624-2\sqrt {4x}\dfrac {3600}{x}=456$，
当且仅当$4x=\dfrac {3600}{x}$，即x=30时，等号成立，
此时纸张的宽为$\dfrac {600}{30}=20cm$，
所以纸张的长宽分别设计为30cm，20cm时，编辑文字区域的面积最大.
设纸张的长为xcm，则宽为600/xcm，表示出编辑文字区域的面积，利用基本不等式求出面积最大值即可．
设纸张的长为xcm，则宽为$\dfrac {600}{x}cm$，编辑文字区域的面积为y，
则$y=(x-6)(\dfrac {600}{x}-4)=624-(4x+\dfrac {3600}{x})\leqslant 624-2\sqrt {4x}\dfrac {3600}{x}=456$，
当且仅当$4x=\dfrac {3600}{x}$，即x=30时，等号成立，
此时纸张的宽为$\dfrac {600}{30}=20cm$，
所以纸张的长宽分别设计为30cm，20cm时，编辑文字区域的面积最大.
解析
步骤 1：定义变量
设纸张的长为$x$ cm，则宽为$\dfrac{600}{x}$ cm。编辑文字区域的面积为$y$。
步骤 2：建立编辑文字区域面积的函数
编辑文字区域的长为$x-6$ cm，宽为$\dfrac{600}{x}-4$ cm。因此，编辑文字区域的面积$y$为：
$$y=(x-6)\left(\dfrac{600}{x}-4\right)$$
$$y=624-(4x+\dfrac{3600}{x})$$
步骤 3：利用基本不等式求最大值
根据基本不等式，$4x+\dfrac{3600}{x}\geqslant 2\sqrt{4x\cdot\dfrac{3600}{x}}=2\sqrt{14400}=240$，当且仅当$4x=\dfrac{3600}{x}$时，等号成立。
因此，$y\leqslant 624-240=384$。
步骤 4：求解等号成立的条件
当$4x=\dfrac{3600}{x}$时，等号成立，解得$x=30$。此时，纸张的宽为$\dfrac{600}{30}=20$ cm。
设纸张的长为$x$ cm，则宽为$\dfrac{600}{x}$ cm。编辑文字区域的面积为$y$。
步骤 2：建立编辑文字区域面积的函数
编辑文字区域的长为$x-6$ cm，宽为$\dfrac{600}{x}-4$ cm。因此，编辑文字区域的面积$y$为：
$$y=(x-6)\left(\dfrac{600}{x}-4\right)$$
$$y=624-(4x+\dfrac{3600}{x})$$
步骤 3：利用基本不等式求最大值
根据基本不等式，$4x+\dfrac{3600}{x}\geqslant 2\sqrt{4x\cdot\dfrac{3600}{x}}=2\sqrt{14400}=240$，当且仅当$4x=\dfrac{3600}{x}$时，等号成立。
因此，$y\leqslant 624-240=384$。
步骤 4：求解等号成立的条件
当$4x=\dfrac{3600}{x}$时，等号成立，解得$x=30$。此时，纸张的宽为$\dfrac{600}{30}=20$ cm。