【例5】某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有 ( ) 种开灯方案。A. 2B. 6C. 11D. 13

本题考查排列组合问题，解题的关键思路是通过分析题目条件，将问题转化为插空法的应用模型。

已知要在$20$盏路灯中打开$10$盏，且相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，这意味着熄灭的$10$盏路灯不能相邻。我们可以把$10$盏亮着的路灯先排列好，这样就会形成$11$个空隙（包括两端），然后从这$11$个空隙中选择$10$个空隙插入熄灭的路灯，这样就能保证熄灭的路灯不相邻，满足题目要求。

下面我们来具体计算：
从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
在本题中，$n = 11$（$10$盏亮灯形成的$11$个空隙），$m = 10$（要插入的熄灭路灯数量），则开灯方案数为$C_{11}^{10}$。
根据组合数公式可得：
$\begin{align*}C_{11}^{10}&=\frac{11!}{10!(11 - 10)!}\\&=\frac{11!}{10!×1!}\\&=\frac{11\times10!}{10!×1}\\&= 11\end{align*}$