题目
设 C 为逆时针方向沿椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 一周路径，则 int_(C) (x + y), dx - (x - y), dy = ( )A. 0B. 2pi abC. pi abD. -2pi ab
设 $C$ 为逆时针方向沿椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 一周路径，则 $\int_{C} (x + y)\, dx - (x - y)\, dy = (\quad)$
A. 0
B. $2\pi ab$
C. $\pi ab$
D. $-2\pi ab$
题目解答
答案
D. $-2\pi ab$
解析
步骤 1：应用格林定理
格林定理将曲线积分转换为二重积分。设 $L = x + y$，$M = -(x - y)$，则 \[ \frac{\partial M}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 1. \] 格林定理公式为 \[ \oint_{C} L \, dx + M \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dA. \]
步骤 2：计算二重积分
将 $\frac{\partial M}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial L}{\partial y}$ 的值代入格林定理公式，得到 \[ \oint_{C} (x + y) \, dx - (x - y) \, dy = \iint_{D} (-2) \, dA = -2 \iint_{D} \, dA. \]
步骤 3：计算椭圆面积
椭圆面积 $D = \pi ab$，代入二重积分得到 \[ -2 \iint_{D} \, dA = -2 \pi ab. \]
格林定理将曲线积分转换为二重积分。设 $L = x + y$，$M = -(x - y)$，则 \[ \frac{\partial M}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 1. \] 格林定理公式为 \[ \oint_{C} L \, dx + M \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dA. \]
步骤 2：计算二重积分
将 $\frac{\partial M}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial L}{\partial y}$ 的值代入格林定理公式，得到 \[ \oint_{C} (x + y) \, dx - (x - y) \, dy = \iint_{D} (-2) \, dA = -2 \iint_{D} \, dA. \]
步骤 3：计算椭圆面积
椭圆面积 $D = \pi ab$，代入二重积分得到 \[ -2 \iint_{D} \, dA = -2 \pi ab. \]