题目
设 Omega 是由光滑曲面 Sigma 所围成的空间闭区域且体积为 V，则 Sigma 外侧的积分 iint_(Sigma) (z-y), dx dy + (y-x), dx dz = ( )A. 0B. VC. 2VD. 3V
设 $\Omega$ 是由光滑曲面 $\Sigma$ 所围成的空间闭区域且体积为 $V$，则 $\Sigma$ 外侧的积分 $\iint_{\Sigma} (z-y)\, dx dy + (y-x)\, dx dz = (\quad)$
A. 0
B. $V$
C. $2V$
D. $3V$
题目解答
答案
A. 0
解析
步骤 1：定义向量场
定义向量场 $\mathbf{F} = (z-y, 0, y-x)$，其中 $(z-y)$ 是 $x$ 方向的分量，$0$ 是 $y$ 方向的分量，$(y-x)$ 是 $z$ 方向的分量。
步骤 2：计算散度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$，即 $\frac{\partial}{\partial x}(z-y) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(y-x)$。
步骤 3：应用高斯公式
根据高斯公式，将曲面积分 $\iint_{\Sigma} (z-y)\, dx dy + (y-x)\, dx dz$ 转换为体积积分 $\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$。
步骤 4：计算体积积分
计算体积积分 $\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$，由于 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$，所以体积积分为 $0$。
定义向量场 $\mathbf{F} = (z-y, 0, y-x)$，其中 $(z-y)$ 是 $x$ 方向的分量，$0$ 是 $y$ 方向的分量，$(y-x)$ 是 $z$ 方向的分量。
步骤 2：计算散度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$，即 $\frac{\partial}{\partial x}(z-y) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(y-x)$。
步骤 3：应用高斯公式
根据高斯公式，将曲面积分 $\iint_{\Sigma} (z-y)\, dx dy + (y-x)\, dx dz$ 转换为体积积分 $\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$。
步骤 4：计算体积积分
计算体积积分 $\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$，由于 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$，所以体积积分为 $0$。