11. 随机地向半圆 0 < y < sqrt(2ax - x^2) （a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于 (pi)/(4) 的概率.
题目解答
答案
将半圆方程 $y = \sqrt{2ax - x^2}$ 转化为标准形式 $(x - a)^2 + y^2 = a^2$（$y > 0$），半圆面积为 $S_{\text{半圆}} = \frac{1}{2}\pi a^2$。
事件 $A$：原点与点连线夹角小于 $\frac{\pi}{4}$，即 $0 < y < x$。
区域 $A$ 由 $0 < x < 2a$，$0 < y < \min(x, \sqrt{2ax - x^2})$ 定义。
计算 $A$ 的面积：
$S_A = \int_0^a x \, dx + \int_a^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} + \frac{\pi a^2}{4} = \frac{a^2(2 + \pi)}{4}$
概率 $P(A) = \frac{S_A}{S_{\text{半圆}}} = \frac{\frac{a^2(2 + \pi)}{4}}{\frac{\pi a^2}{2}} = \frac{2 + \pi}{2\pi} = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2}$。
答案： $\boxed{\frac{1}{\pi} + \frac{1}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查几何概率的计算，涉及平面区域的积分与几何图形的分析。
解题思路：
- 确定半圆的几何形状：将原方程转化为标准圆的形式，明确半圆的圆心、半径及范围。
- 分析事件区域：根据角度条件转化为坐标关系，确定满足条件的区域边界。
- 分段积分计算面积：根据区域边界的变化，将积分区间分为两部分分别计算。
- 概率计算：用满足条件的面积除以半圆总面积得到概率。
关键点：
- 半圆方程的转化：通过配方得到标准圆方程，明确几何图形。
- 角度条件的坐标转化：将角度小于$\frac{\pi}{4}$转化为$y < x$。
- 积分区间的划分：根据$x$的不同范围，确定积分上下限。
1. 确定半圆的几何形状
原方程$y = \sqrt{2ax - x^2}$平方后得：
$y^2 = 2ax - x^2 \implies (x - a)^2 + y^2 = a^2 \quad (y > 0).$
这表示以$(a, 0)$为圆心，半径为$a$的上半圆。半圆面积为：
$S_{\text{半圆}} = \frac{1}{2} \pi a^2.$
2. 分析事件区域
事件$A$要求原点与点连线的斜率$k = \frac{y}{x} < 1$，即$y < x$。
需计算半圆内满足$0 < y < \min(x, \sqrt{2ax - x^2})$的区域面积。
3. 分段积分计算面积
- 当$0 \leq x \leq a$时：$\sqrt{2ax - x^2} \geq x$，积分上限为$x$，面积为：
$\int_0^a x \, dx = \frac{1}{2}a^2.$ - 当$a \leq x \leq 2a$时：$\sqrt{2ax - x^2} < x$，积分上限为$\sqrt{2ax - x^2}$。令$t = x - a$，积分转化为半圆面积的四分之一：
$\int_a^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx = \frac{1}{4} \pi a^2.$
总面积为：
$S_A = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4}\pi a^2 = \frac{a^2(2 + \pi)}{4}.$
4. 计算概率
概率为满足条件的面积与半圆面积的比值：
$P(A) = \frac{S_A}{S_{\text{半圆}}} = \frac{\frac{a^2(2 + \pi)}{4}}{\frac{1}{2}\pi a^2} = \frac{2 + \pi}{2\pi} = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2}.$