6.证明方程 sin x - x cos x = 0 在 (pi, (3)/(2) pi) 内至少有一个实根.

本题考查零点存在定理的应用。解题思路是先构造一个与方程相关的函数，判断该函数在给定区间上的连续性，然后计算函数在区间端点处的值，最后根据零点存在定理来证明方程在该区间内至少有一个实根。

1. 构造函数并判断连续性：
   令$f(x)=\sin x - x\cos x$。因为正弦函数$y = \sin x$和余弦函数$y=\cos x$在$R$上都是连续的，一次函数$y = x$在$R$上也连续，根据连续函数的四则运算性质，两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是连续函数，所以$f(x)=\sin x - x\cos x$在区间$[\pi,\frac{3\pi}{2}]$上连续。
2. 计算区间端点的函数值：
   • 计算$f(\pi)$：
     根据三角函数特殊值$\sin\pi = 0$，$\cos\pi=-1$，将其代入$f(x)$可得：
     $f(\pi)=\sin\pi-\pi\cos\pi=0 - \pi\times(-1)=\pi>0$
   • 计算$f(\frac{3\pi}{2})$：
     根据三角函数特殊值$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，$\cos\frac{3\pi}{2}=0$，将其代入$f(x)$可得：
     $f(\frac{3\pi}{2})=\sin\frac{3\pi}{2}-\frac{3\pi}{2}\cos\frac{3\pi}{2}=-1-\frac{3\pi}{2}\times0=-1 < 0$
3. 应用零点存在定理：
   零点存在定理为：如果函数$y = f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一个点$\xi$，使得$f(\xi)=0$。
   由于$f(x)$在$[\pi,\frac{3\pi}{2}]$上连续，且$f(\pi)>0$，$f(\frac{3\pi}{2})<0$，即$f(\pi)\cdot f(\frac{3\pi}{2})<0$，所以由零点存在定理可知，$f(x)$在区间$(\pi,\frac{3\pi}{2})$内至少有一个零点。
   而函数$f(x)$的零点就是方程$f(x)=0$，即$\sin x - x\cos x = 0$的实根，所以方程$\sin x - x\cos x = 0$在$(\pi,\frac{3\pi}{2})$内至少有一个实根。