2.求iintlimits_(D)(dxdy)/(sqrt(x^2)+y^(2)),D:x^2+y^2=1,x^2+y^2=2x,y=0所围区域在第一象限部分且xgeqslant(1)/(2).

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算，涉及积分区域的转换、极坐标方程的确定以及积分限的分析。

解题核心思路：

1. 识别积分区域形状：题目中的区域由两个圆和一条直线围成，且位于第一象限并满足$x \geq \frac{1}{2}$。通过极坐标变换可简化计算。
2. 转换极坐标方程：将圆$x^2 + y^2 = 1$和$x^2 + y^2 = 2x$转换为极坐标形式，确定积分限。
3. 简化被积函数：利用极坐标变换后，被积函数$\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$变为$\frac{1}{r}$，结合雅可比行列式进一步简化积分。

破题关键点：

• 确定极坐标下的积分限：通过分析两圆的交点和$x \geq \frac{1}{2}$的条件，明确$\theta$和$r$的范围。
• 正确应用极坐标变换：确保积分转换过程中雅可比行列式和被积函数的正确性。

步骤1：确定积分区域

1. 圆$x^2 + y^2 = 1$：极坐标方程为$r = 1$。
2. 圆$x^2 + y^2 = 2x$：整理为$(x - 1)^2 + y^2 = 1$，极坐标方程为$r = 2\cos\theta$。
3. 直线$y = 0$：对应$\theta = 0$。
4. 交点分析：两圆在第一象限的交点为$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，对应极坐标$\theta = \frac{\pi}{3}$。

步骤2：确定极坐标积分限

• 角度$\theta$：从$x$轴（$\theta = 0$）到交点$\theta = \frac{\pi}{3}$，即$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$。
• 半径$r$：对于每个$\theta$，$r$从内圆$r = 1$到外圆$r = 2\cos\theta$。

步骤3：转换积分并计算

1. 被积函数转换：$\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{r}$，雅可比行列式为$r$，故积分变为：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \int_{1}^{2\cos\theta} \frac{1}{r} \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \int_{1}^{2\cos\theta} 1 \, dr \, d\theta$
2. 对$r$积分：$\int_{1}^{2\cos\theta} 1 \, dr = 2\cos\theta - 1$。
3. 对$\theta$积分：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos\theta - 1) \, d\theta = \left[ 2\sin\theta - \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$