单选 14. (5x)/(2+x^2)的最大值为A. (5sqrt(2))/(4)B. (sqrt(2))/(4)C. (4sqrt(2))/(5)D. 5sqrt(2)

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的最大值，涉及分式函数的极值求解方法。

解题核心思路：

1. 求导法：通过求导找到函数的临界点，分析导数的符号变化确定极值点。
2. 极值判断：结合导数的正负变化，确定极大值点。
3. 端点分析：考虑函数在无穷远处的趋势，排除其他可能的最大值点。

破题关键点：

• 正确求导：应用商的导数法则，化简导数表达式。
• 解方程求临界点：通过解分子为零的方程，找到可能的极值点。
• 导数符号分析：通过区间测试确定函数的单调性，进而判断极大值点。

步骤1：求导数
函数为 $f(x) = \frac{5x}{2 + x^2}$，应用商的导数法则：
$f'(x) = \frac{(5)(2 + x^2) - 5x(2x)}{(2 + x^2)^2} = \frac{10 - 5x^2}{(2 + x^2)^2}.$

步骤2：求临界点
令 $f'(x) = 0$，解得分子为零：
$10 - 5x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}.$

步骤3：分析导数符号

• 当 $x < -\sqrt{2}$ 或 $x > \sqrt{2}$ 时：分子 $10 - 5x^2 < 0$，故 $f'(x) < 0$，函数递减。
• 当 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 时：分子 $10 - 5x^2 > 0$，故 $f'(x) > 0$，函数递增。

步骤4：确定极大值点

• $x = \sqrt{2}$ 处：左侧导数为正，右侧导数为负，故为极大值点。
• $x = -\sqrt{2}$ 处：左侧导数为负，右侧导数为正，故为极小值点（舍去）。

步骤5：计算最大值
代入 $x = \sqrt{2}$：
$f(\sqrt{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{2 + (\sqrt{2})^2} = \frac{5\sqrt{2}}{4}.$

步骤6：验证无穷远处趋势
当 $x \to \pm \infty$ 时，$f(x) \approx \frac{5x}{x^2} = \frac{5}{x} \to 0$，故最大值确实在 $x = \sqrt{2}$ 处取得。