累次积分 int_(0)^(pi)/(2) dtheta int_(0)^costheta f(rcostheta, rsintheta)r , dr 可写成()。A. int_(0)^1 dy int_(0)^sqrt(y-y^2) f(x, y)dxB. int_(0)^1 dy int_(0)^sqrt(1-y^2) f(x, y)dxC. int_(0)^1 dx int_(0)^1 f(x, y)dyD. int_(0)^1 dx int_(0)^sqrt(x-x^2) f(x, y)dy
A. $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y)dx$
B. $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y)dx$
C. $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} f(x, y)dy$
D. $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y)dy$
题目解答
答案
解析
本题考查极坐标下的累次积分转化为直角坐标下的累次积分，解题思路是先根据极坐标下的积分限确定积分区域，再将该区域用直角坐标表示，最后确定直角坐标下的积分限。
步骤一：确定极坐标下的积分区域
已知累次积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r \, dr$，在极坐标中，$r$的积分下限为$0$，上限为$\cos\theta$，$\theta$的积分下限为$0$，上限为$\frac{\pi}{2}$。
由$r = \cos\theta$，两边同时乘以$r$可得$r^2 = r\cos\theta$。
根据极坐标与直角坐标的转换关系$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$r^2 = x^2 + y^2$，则$r^2 = r\cos\theta$可化为$x^2 + y^2 = x$，进一步整理为$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2$，这是一个圆心为$(\frac{1}{2}, 0)$，半径为$\frac{1}{2}$的圆。
结合$\theta$的范围$0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$，可知积分区域是该圆在第一象限的部分。
步骤二：确定直角坐标下的积分限
先对$y$积分，再对$x$积分。
对于$x$的范围，从圆的方程可知$x$的最小值为$0$，最大值为$1$，即$0\leqslant x\leqslant 1$。
对于$y$的范围，由$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2$可得$y = \pm\sqrt{x - x^2}$，因为积分区域在第一象限，所以$y\geqslant 0$，则$y$的下限为$0$，上限为$\sqrt{x - x^2}$，即$0\leqslant y\leqslant\sqrt{x - x^2}$。
步骤三：写出直角坐标下的累次积分
根据上述分析，将极坐标下的累次积分转化为直角坐标下的累次积分$\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{\sqrt{x - x^2}} f(x, y)dy$。