题目

当 x arrow 0 时, 变量 mathrm(e)^(1)/(x) sin (1)/(x) 是( )(A) 无穷小量.(B) 无穷大量.(C) 有界但非无穷小量.(D) 无界但非无穷大量.

当 $x \rightarrow 0$ 时, 变量 $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \sin \frac{1}{x}$ 是( ) (A) 无穷小量. (B) 无穷大量. (C) 有界但非无穷小量. (D) 无界但非无穷大量.

题目解答

答案

我们来分析题目：

题目要求我们判断当 $ x \to 0 $ 时，变量
$\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \sin \frac{1}{x}$
的性质，选项是关于它是无穷小、无穷大、有界还是无界等。

第一步：理解变量的变化趋势

我们考虑当 $ x \to 0 $ 时，$ \frac{1}{x} \to \infty $（注意：从右侧 $ x \to 0^+ $，$ \frac{1}{x} \to +\infty $；从左侧 $ x \to 0^- $，$ \frac{1}{x} \to -\infty $）。所以需要分别考虑左右极限。

但题目中没有说明是单侧极限，而是 $ x \to 0 $，所以我们需要考虑整体行为。

第二步：分析函数结构

函数是：
$f(x) = \mathrm{e}^{1/x} \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right)$

我们注意到：

  • $ \sin\left( \frac{1}{x} \right) $：当 $ x \to 0 $ 时，$ \frac{1}{x} \to \infty $，所以 $ \sin\left( \frac{1}{x} \right) $ 在 $[-1, 1]$ 之间快速振荡，极限不存在，但它是有界函数。
  • $ \mathrm{e}^{1/x} $：这个部分的行为依赖于方向。

第三步：分别考虑左右极限

1. 当 $ x \to 0^+ $ 时：

  • $ \frac{1}{x} \to +\infty $
  • $ \mathrm{e}^{1/x} \to +\infty $
  • $ \sin\left( \frac{1}{x} \right) $ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡

所以：
$f(x) = \mathrm{e}^{1/x} \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right)$
是一个无穷大乘以一个振荡有界函数，结果是：振幅趋于无穷大的振荡。

也就是说，当 $ x \to 0^+ $ 时，$ f(x) $ 会在正负无穷之间剧烈振荡，无界，但不会趋于 $ +\infty $ 或 $ -\infty $，因为正负交替。

例如，取序列：

  • $ x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0^+ $，则 $ \sin(1/x_n) = \sin(2n\pi) = 0 $，所以 $ f(x_n) = 0 $
  • $ x_n = \frac{1}{(2n + \frac{1}{2})\pi} $，则 $ \sin(1/x_n) = \sin\left( (2n + \frac{1}{2})\pi \right) = 1 $，所以 $ f(x_n) = e^{(2n + \frac{1}{2})\pi} \to \infty $
  • 类似地，取 $ \sin = -1 $ 的点，则 $ f(x_n) \to -\infty $

所以当 $ x \to 0^+ $ 时，函数值可以趋于 $ +\infty $、$ -\infty $，也可以等于 0，说明：

  • 无界
  • 不是无穷大量（因为无穷大量要求绝对值趋于无穷，而这里可以取到 0）
  • 不是无穷小量

2. 当 $ x \to 0^- $ 时：

  • $ \frac{1}{x} \to -\infty $
  • $ \mathrm{e}^{1/x} = \mathrm{e}^{-\infty} \to 0 $
  • $ \sin\left( \frac{1}{x} \right) = \sin(-\infty) $，仍然在 $[-1, 1]$ 之间振荡

所以：
$f(x) = \underbrace{\mathrm{e}^{1/x}}_{\to 0} \cdot \underbrace{\sin\left( \frac{1}{x} \right)}_{\text{有界}}$

而“无穷小量 × 有界量 = 无穷小量”，所以当 $ x \to 0^- $ 时，$ f(x) \to 0 $

第四步：综合左右极限

  • $ x \to 0^+ $：函数无界，振荡且趋于正负无穷
  • $ x \to 0^- $：函数趋于 0

因此，当 $ x \to 0 $ 时，整体极限不存在，而且函数在 $ x \to 0 $ 的任何邻域内（包含正负两侧）：

  • 在左侧趋于 0（很小）
  • 在右侧可以任意大（正或负）

所以，在 $ x \to 0 $ 的过程中，函数在任意小的邻域内：

  • 可以取到非常大的值（右侧靠近 0 的点），说明无界
  • 也可以取到接近 0 的值（左侧或正弦为 0 的点），说明不是无穷大量（因为无穷大量要求 $ |f(x)| \to \infty $）

第五步：判断选项

我们来看选项：

(A) 无穷小量：❌ 不是，因为在右侧它趋于无穷

(B) 无穷大量：❌ 不是，因为它在某些点为 0 或趋于 0，且不保持趋向无穷

(C) 有界但非无穷小量：❌ 不是，因为在右侧它无界

(D) 无界但非无穷大量：✅ 正确！

因为在 $ x \to 0 $ 的任何邻域内，函数值可以任意大（正负），所以无界；但又不趋于无穷（因为有子列趋于 0），所以不是无穷大量

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{(D) 无界但非无穷大量}}$

解析

本题考查无穷小量、无穷大量、有界量和无界量的概念，解题思路是分别分析当$x\to0^+$和$x\to0^-$时函数$f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\sin\frac{1}{x}$的变化趋势，再综合判断函数在$x\to0$时的性质。

  1. 分析$x\to0^+$时函数的性质：
    • 当$x\to0^+$时，$\frac{1}{x}\to+\infty$，那么$\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\to+\infty$，而$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，其值域为$[-1,1]$。
    • 此时$f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\sin\frac{1}{x}$是一个无穷大乘以一个有界函数，其结果是振幅趋于无穷大的振荡。
    • 例如，取序列$x_n = \frac{1}{2n\pi}\to0^+$，则$\sin(\frac{1}{x_n}) = \sin(2n\pi) = 0$，所以$f(x_n) = 0$；取$x_n = \frac{1}{(2n + \frac{1}{2})\pi}$，则$\sin(\frac{1}{x_n}) = \sin((2n + \frac{1}{2})\pi) = 1$，所以$f(x_n) = \mathrm{e}^{(2n + \frac{1}{2})\pi}\to\infty$；类似地，取$\sin = -1$的点，则$f(x_n)\to-\infty$。
    • 这表明当$x\to0^+$时，函数值可以趋于$+\infty$、$-\infty$，也可以等于$0$，所以函数无界，但不是无穷大量（因为无穷大量要求绝对值趋于无穷，而这里可以取到$0$），也不是无穷小量。
  2. 分析$x\to0^-$时函数的性质：
    • 当$x\to0^-$时，$\frac{1}{x}\to-\infty$，那么$\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{-\infty}\to0$，$\sin\frac{1}{x}$仍然是有界函数，其值域为$[-1,1]$。
    • 根据“无穷小量×有界量 = 无穷小量”，可得当$x\to0^-$时，$f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\sin\frac{1}{x}\to0$。
  3. 综合左右极限判断函数在$x\to0$时的性质：
    • 当$x\to0^+$时，函数无界，振荡且趋于正负无穷；当$x\to0^-$时，函数趋于$0$。
    • 所以当$x\to0$时，整体极限不存在，而且函数在$x\to0$的任何邻域内（包含正负两侧），在左侧趋于$0$（很小），在右侧可以任意大（正或负）。
    • 这说明在$x\to0$的过程中，函数在任意小的邻域内可以取到非常大的值（右侧靠近$0$的点），所以无界；也可以取到接近$0$的值（左侧或正弦为$0$的点），所以不是无穷大量（因为无穷大量要求$\vert f(x)\vert\to\infty$）。