[题目 lim _(xarrow 0)dfrac (ln {(1+x))^dfrac (1{x)-1}}(x)

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及对数运算、泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 化简表达式：利用对数性质将分子变形，转化为更易处理的形式。
2. 识别未定式：分子和分母在$x \to 0$时均趋近于0，属于$\frac{0}{0}$型未定式，可考虑使用洛必达法则或泰勒展开。
3. 选择方法：泰勒展开能直接展开$\ln(1+x)$，快速得到结果；洛必达法则需多次应用，但步骤清晰。

破题关键点：

• 正确化简分子：将$\ln{(1+x)^{\frac{1}{x}}}$转化为$\frac{\ln(1+x)}{x}$。
• 识别高阶无穷小：通过泰勒展开或导数计算，找到分子中的主部项。

原式化简：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln {(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}-1}{x} &= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{\ln(1+x)}{x} -1}{x} \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln(1+x) -x}{x^2}.\end{aligned}$

方法一：泰勒展开
将$\ln(1+x)$展开为泰勒级数：
$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots.$
代入分子：
$\ln(1+x) -x = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots.$
因此，原式化简为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{ -\dfrac{x^2}{2} + \cdots }{x^2} = -\dfrac{1}{2}.$

方法二：洛必达法则

1. 第一次应用洛必达：
   分子导数为$\dfrac{1}{1+x} -1$，分母导数为$2x$，得：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{1}{1+x} -1}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{-x}{2x(1+x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{-1}{2(1+x)}.$
2. 直接代入$x=0$：
   $\dfrac{-1}{2(1+0)} = -\dfrac{1}{2}.$