[1.3]设(X,Y)的分布律为-|||-Y 1 2 3-|||-X-|||--1 dfrac (1)(3) dfrac (a)(6) dfrac (1)(4)-|||-1 0 dfrac (1)(4) a^2-|||-求a的值.

考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的分布律性质，即所有概率之和为1，且每个概率值非负。

解题核心思路：

1. 利用分布律的归一性，将表格中所有含$a$的概率相加等于1，建立方程。
2. 解方程得到$a$的可能值。
3. 验证非负性，排除使概率为负的解。

破题关键点：

• 正确列出所有概率项的和，注意表格中每个位置的对应关系。
• 注意$a^2$和$\dfrac{a}{6}$的符号依赖于$a$的取值，需代入验证。

根据分布律的性质，所有概率之和为1，且每个概率非负。

1. 列方程：
   将表格中所有概率相加：
   $\dfrac{1}{3} + \dfrac{a}{6} + \dfrac{1}{4} + 0 + \dfrac{1}{4} + a^2 = 1$
   合并常数项：
   $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$
   方程化简为：
   $\dfrac{5}{6} + \dfrac{a}{6} + a^2 = 1$
   移项得：
   $a^2 + \dfrac{a}{6} - \dfrac{1}{6} = 0$
   两边乘以6消分母：
   $6a^2 + a - 1 = 0$

2. 解方程：
   因式分解：
   $(3a - 1)(2a + 1) = 0$
   解得：
   $a = \dfrac{1}{3} \quad \text{或} \quad a = -\dfrac{1}{2}$

3. 验证非负性：

   • 当$a = \dfrac{1}{3}$时：
     $\dfrac{a}{6} = \dfrac{1}{18} > 0$，$a^2 = \dfrac{1}{9} > 0$，所有概率非负。
   • 当$a = -\dfrac{1}{2}$时：
     $\dfrac{a}{6} = -\dfrac{1}{12} < 0$，不符合概率非负要求，舍去。