题目

判断题（共10题，30.0分）题型说明：每小题3分，共10小题16.（3.0分）数列1，2，3，…，n，…的极限存在.A 对B 错

判断题（共10题，30.0分） 题型说明：每小题3分，共10小题 16.（3.0分）数列1，2，3，…，n，…的极限存在. A 对 B 错

题目解答

答案

数列 $1, 2, 3, \ldots, n, \ldots$ 的通项公式为 $a_n = n$。 根据极限定义，若数列收敛，则存在有限实数 $L$，使得对于任意正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|a_n - L| < \epsilon$。 然而，$a_n = n$ 随 $n$ 增大而无界增长，对于任意有限 $L$，总存在 $n > L + \epsilon$，使得 $|a_n - L| = n - L > \epsilon$，不满足极限定义。 因此，该数列极限不存在。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题考查数列极限的定义及判断数列极限是否存在的方法。解题思路是先明确数列的通项公式，再依据数列极限的定义来判断该数列是否存在极限。

  1. 首先，确定数列$1, 2, 3, \ldots, n, \ldots$的通项公式：
    • 对于这个数列，其通项公式为$a_{n}=n$，$n\in N^+$。
  2. 然后，回顾数列极限的定义：
    • 若数列$\{a_{n}\}$收敛，即存在有限实数$L$，使得对于任意给定的正数$\epsilon$（无论它多么小），都存在正整数$N$，当$n > N$时，不等式$\vert a_{n}-L\vert<\epsilon$恒成立。
  3. 接着，分析数列$a_{n}=n$是否满足极限定义：
    • 假设数列$\{a_{n}\}$的极限存在，设极限值为$L$（$L$为有限实数）。
    • 对于任意给定的正数$\epsilon$，根据绝对值不等式$\vert a_{n}-L\vert<\epsilon$，即$-\epsilon < a_{n}-L < \epsilon$，可变形为$L - \epsilon < a_{n}<L + \epsilon$。
    • 由于$a_{n}=n$，当$n$不断增大时，$n$会无界增长。我们总可以找到一个正整数$n_0$，使得$n_0>L + \epsilon$。
    • 当$n = n_0$时，$\vert a_{n_0}-L\vert=\vert n_0 - L\vert=n_0 - L>\epsilon$，这与数列极限定义中“对于任意正数$\epsilon$，当$n > N$时，$\vert a_{n}-L\vert<\epsilon$恒成立”相矛盾。
    • 所以，数列$a_{n}=n$不满足数列极限的定义，该数列极限不存在。