（2009•安徽）已知(an)为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示(an)的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）A. 21B. 20C. 19D. 18

考查要点：本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，以及如何确定前n项和的最大值。

解题核心思路：

1. 利用已知条件建立方程组，求出等差数列的首项$a_1$和公差$d$。
2. 分析数列的单调性：由于公差$d$为负数，数列是递减的，前n项和的最大值出现在最后一个非负项的位置。
3. 二次函数顶点法：将前n项和$S_n$表示为关于$n$的二次函数，通过顶点公式确定最大值对应的$n$。

破题关键点：

• 正确建立方程：通过奇数项和偶数项的和，联立方程求解$a_1$和$d$。
• 判断数列项的正负：找到数列中最后一个非负项的位置，确定$S_n$的最大值点。

步骤1：求首项$a_1$和公差$d$

根据题意：

• 奇数项和：$a_1 + a_3 + a_5 = 105$
  代入通项公式$a_n = a_1 + (n-1)d$，得：
  $a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 3a_1 + 6d = 105 \implies a_1 + 2d = 35 \quad \text{(1)}$

• 偶数项和：$a_2 + a_4 + a_6 = 99$
  同理得：
  $(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 3a_1 + 9d = 99 \implies a_1 + 3d = 33 \quad \text{(2)}$

联立方程(1)和(2)：
用(2)-(1)得：$d = -2$，代入(1)得：$a_1 = 39$。

步骤2：求前n项和$S_n$的最大值

前n项和公式：
$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}[78 - 2(n-1)] = -n^2 + 40n$

二次函数顶点法：
$S_n = -n^2 + 40n$的顶点横坐标为：
$n = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \times (-1)} = 20$
因此，当$n=20$时，$S_n$取得最大值。

数列项的正负分析：
通项公式为$a_n = 39 - 2(n-1) = 41 - 2n$。
令$a_n \geq 0$，解得：
$41 - 2n \geq 0 \implies n \leq 20.5$
即第20项仍为正，第21项为负，故前20项和最大。