(9) lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (1+dfrac {1)(x))}(arctan x) ,

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小替换和洛必达法则的应用。关键在于正确识别分子和分母在无穷远处的等价形式。

解题思路：

1. 分子分析：当$x \rightarrow +\infty$时，$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$可近似为$\dfrac{1}{x}$（利用等价无穷小$\ln(1+\epsilon) \sim \epsilon$）。
2. 分母分析：若题目中的分母为$\arccot x$（而非$\arctan x$），则当$x \rightarrow +\infty$时，$\arccot x \sim \dfrac{1}{x}$（因为$\arccot x = \arctan \dfrac{1}{x} \sim \dfrac{1}{x}$）。
3. 极限形式：此时分子和分母均趋近于$0$，满足洛必达法则的使用条件，通过求导化简后可得极限值。

破题关键：

• 确认分母形式：题目可能存在笔误，分母应为$\arccot x$而非$\arctan x$。
• 等价无穷小替换：正确应用$\ln(1+\epsilon) \sim \epsilon$和$\arctan \epsilon \sim \epsilon$（当$\epsilon \rightarrow 0$时）。

步骤1：等价无穷小替换
当$x \rightarrow +\infty$时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，因此：
$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \sim \dfrac{1}{x}, \quad \arccot x = \arctan \dfrac{1}{x} \sim \dfrac{1}{x}.$

步骤2：化简极限表达式
原极限可近似为：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} 1 = 1.$

步骤3（备选）：洛必达法则验证
若直接应用洛必达法则：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\arccot x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\dfrac{-1}{x^2 + x}}{\dfrac{-1}{x^2 + 1}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + x} = 1.$