设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观察，则至少有两次观测值大于3的概率为().A. (15)/(27)B. (11)/(27)C. (16)/(27)D. (20)/(27)

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算和二项分布的应用，需要结合独立事件的概率进行综合分析。

解题核心思路：

1. 确定单次观测值大于3的概率：利用均匀分布的性质，计算区间长度比例。
2. 建立二项分布模型：三次独立观测中，将“观测值大于3”视为成功，求至少两次成功的概率。
3. 计算组合概率：分别计算恰好两次成功和三次成功的概率，再求和。

破题关键点：

• 均匀分布的概率计算：明确区间长度与概率的关系。
• 二项分布的公式应用：正确使用组合数和概率的幂次计算。

步骤1：计算单次观测值大于3的概率

随机变量$X$在$[2,5]$上服从均匀分布，其概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5-2} = \frac{1}{3}, & 2 \leq x \leq 5, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
观测值大于3的概率为区间$[3,5]$的长度占总区间长度的比例：
$P(X > 3) = \frac{5 - 3}{5 - 2} = \frac{2}{3}.$

步骤2：建立二项分布模型

设$Y$为三次观测中“观测值大于3”的次数，则$Y$服从参数为$n=3$、成功概率$p=\frac{2}{3}$的二项分布，即$Y \sim B(3, \frac{2}{3})$。

步骤3：计算至少两次成功的概率

“至少两次成功”包括两种情况：恰好两次成功（$Y=2$）和恰好三次成功（$Y=3$）。

1. 恰好两次成功：
   $P(Y=2) = \binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^{1} = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{12}{27}.$

2. 恰好三次成功：
   $P(Y=3) = \binom{3}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 1 \cdot \frac{8}{27} \cdot 1 = \frac{8}{27}.$

3. 总概率：
   $P(Y \geq 2) = P(Y=2) + P(Y=3) = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}.$