6.(2024)函数f(x) =dfrac (x+1)({x)^2+x+1}的单调增区间().dfrac (x+1)({x)^2+x+1}

考查要点：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间，涉及分式函数的求导法则及二次函数的符号分析。

解题核心思路：

1. 求导：使用商的求导法则，计算函数$f(x)$的导数$f'(x)$。
2. 分析导数符号：通过分子因式分解确定导数的符号变化，找到$f'(x) \geq 0$的区间。
3. 确定单调区间：结合导数的正负性，判断函数的单调递增区间。

破题关键点：

• 分母恒正：分母$(x^2 + x + 1)^2$始终为正，导数符号由分子决定。
• 分子因式分解：将分子$-x^2 - 2x$分解为$-x(x + 2)$，快速确定导数为零的点$x = -2$和$x = 0$。
• 区间测试：通过测试区间内的符号，确定导数的正负性。

步骤1：求导数
函数$f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x + 1}$，根据商的求导法则：
$f'(x) = \dfrac{(1)(x^2 + x + 1) - (x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

步骤2：化简分子
展开并整理分子：
$\begin{aligned}\text{分子} &= (x^2 + x + 1) - (x + 1)(2x + 1) \\&= x^2 + x + 1 - (2x^2 + 3x + 1) \\&= -x^2 - 2x.\end{aligned}$

步骤3：确定导数符号
导数为：
$f'(x) = \dfrac{-x^2 - 2x}{(x^2 + x + 1)^2} = \dfrac{-x(x + 2)}{(x^2 + x + 1)^2}.$
分母恒正，分子$-x(x + 2)$的符号由$-x(x + 2)$决定。令分子为零，得临界点$x = -2$和$x = 0$。

步骤4：区间符号分析

• 当$x < -2$时，取测试点$x = -3$，分子为负，$f'(x) < 0$，函数递减。
• 当$-2 < x < 0$时，取测试点$x = -1$，分子为正，$f'(x) > 0$，函数递增。
• 当$x > 0$时，取测试点$x = 1$，分子为负，$f'(x) < 0$，函数递减。

结论：函数$f(x)$的单调递增区间为$[-2, 0]$，对应选项B。