题目
设随机变量(X，Y)的分布律为 XY1 2 3-1010.2 0.1 0.00.1 0.0 0.30.1 0.1 0.1(1)求E(X)，E(Y).(2)设Z=dfrac(Y)(X)，求E(Z).(3)设Z=((X-Y))^2，求E(Z).
设随机变量$\left(X，Y\right)$的分布律为
$X$ $Y$ | $1$ $2$ $3$ |
$-1$ $0$ $1$ | $0.2$ $0.1$ $0.0$ $0.1$ $0.0$ $0.3$ $0.1$ $0.1$ $0.1$ |
$\left(1\right)$求$E\left(X\right)$，$E\left(Y\right)$.
$\left(2\right)$设$Z=\dfrac{Y}{X}$，求$E\left(Z\right)$.
$\left(3\right)$设$Z={\left(X-Y\right)}^{2}$，求$E\left(Z\right)$.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算$E(X)$
$E(X)$是随机变量$X$的期望值，计算方法是将$X$的每个可能值乘以其对应的概率，然后将这些乘积相加。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(X) = 1 \times (0.2 + 0.1 + 0.1) + 2 \times (0.1 + 0.0 + 0.1) + 3 \times (0.0 + 0.3 + 0.1)$
$E(X) = 1 \times 0.4 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.4$
$E(X) = 0.4 + 0.4 + 1.2$
$E(X) = 2$
步骤 2：计算$E(Y)$
$E(Y)$是随机变量$Y$的期望值，计算方法与$E(X)$类似。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(Y) = -1 \times (0.2 + 0.1 + 0.0) + 0 \times (0.1 + 0.0 + 0.3) + 1 \times (0.1 + 0.1 + 0.1)$
$E(Y) = -1 \times 0.3 + 0 \times 0.4 + 1 \times 0.3$
$E(Y) = -0.3 + 0 + 0.3$
$E(Y) = 0$
步骤 3：计算$E(Z)$，其中$Z=\dfrac{Y}{X}$
$E(Z)$是随机变量$Z$的期望值，计算方法是将$Z$的每个可能值乘以其对应的概率，然后将这些乘积相加。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(Z) = \dfrac{-1}{1} \times 0.2 + \dfrac{0}{1} \times 0.1 + \dfrac{1}{1} \times 0.1 + \dfrac{-1}{2} \times 0.1 + \dfrac{0}{2} \times 0.0 + \dfrac{1}{2} \times 0.1 + \dfrac{-1}{3} \times 0.0 + \dfrac{0}{3} \times 0.3 + \dfrac{1}{3} \times 0.1$
$E(Z) = -0.2 + 0 + 0.1 - 0.05 + 0 + 0.05 + 0 + 0 + 0.0333$
$E(Z) = -0.0667$
步骤 4：计算$E(Z)$，其中$Z=(X-Y)^2$
$E(Z)$是随机变量$Z$的期望值，计算方法是将$Z$的每个可能值乘以其对应的概率，然后将这些乘积相加。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(Z) = (1-(-1))^2 \times 0.2 + (1-0)^2 \times 0.1 + (1-1)^2 \times 0.0 + (2-(-1))^2 \times 0.1 + (2-0)^2 \times 0.0 + (2-1)^2 \times 0.3 + (3-(-1))^2 \times 0.0 + (3-0)^2 \times 0.3 + (3-1)^2 \times 0.1$
$E(Z) = 4 \times 0.2 + 1 \times 0.1 + 0 \times 0.0 + 9 \times 0.1 + 4 \times 0.0 + 1 \times 0.3 + 16 \times 0.0 + 9 \times 0.3 + 4 \times 0.1$
$E(Z) = 0.8 + 0.1 + 0 + 0.9 + 0 + 0.3 + 0 + 2.7 + 0.4$
$E(Z) = 5$
$E(X)$是随机变量$X$的期望值，计算方法是将$X$的每个可能值乘以其对应的概率，然后将这些乘积相加。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(X) = 1 \times (0.2 + 0.1 + 0.1) + 2 \times (0.1 + 0.0 + 0.1) + 3 \times (0.0 + 0.3 + 0.1)$
$E(X) = 1 \times 0.4 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.4$
$E(X) = 0.4 + 0.4 + 1.2$
$E(X) = 2$
步骤 2：计算$E(Y)$
$E(Y)$是随机变量$Y$的期望值，计算方法与$E(X)$类似。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(Y) = -1 \times (0.2 + 0.1 + 0.0) + 0 \times (0.1 + 0.0 + 0.3) + 1 \times (0.1 + 0.1 + 0.1)$
$E(Y) = -1 \times 0.3 + 0 \times 0.4 + 1 \times 0.3$
$E(Y) = -0.3 + 0 + 0.3$
$E(Y) = 0$
步骤 3：计算$E(Z)$，其中$Z=\dfrac{Y}{X}$
$E(Z)$是随机变量$Z$的期望值，计算方法是将$Z$的每个可能值乘以其对应的概率，然后将这些乘积相加。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(Z) = \dfrac{-1}{1} \times 0.2 + \dfrac{0}{1} \times 0.1 + \dfrac{1}{1} \times 0.1 + \dfrac{-1}{2} \times 0.1 + \dfrac{0}{2} \times 0.0 + \dfrac{1}{2} \times 0.1 + \dfrac{-1}{3} \times 0.0 + \dfrac{0}{3} \times 0.3 + \dfrac{1}{3} \times 0.1$
$E(Z) = -0.2 + 0 + 0.1 - 0.05 + 0 + 0.05 + 0 + 0 + 0.0333$
$E(Z) = -0.0667$
步骤 4：计算$E(Z)$，其中$Z=(X-Y)^2$
$E(Z)$是随机变量$Z$的期望值，计算方法是将$Z$的每个可能值乘以其对应的概率，然后将这些乘积相加。根据题目给出的分布律，我们有：
$E(Z) = (1-(-1))^2 \times 0.2 + (1-0)^2 \times 0.1 + (1-1)^2 \times 0.0 + (2-(-1))^2 \times 0.1 + (2-0)^2 \times 0.0 + (2-1)^2 \times 0.3 + (3-(-1))^2 \times 0.0 + (3-0)^2 \times 0.3 + (3-1)^2 \times 0.1$
$E(Z) = 4 \times 0.2 + 1 \times 0.1 + 0 \times 0.0 + 9 \times 0.1 + 4 \times 0.0 + 1 \times 0.3 + 16 \times 0.0 + 9 \times 0.3 + 4 \times 0.1$
$E(Z) = 0.8 + 0.1 + 0 + 0.9 + 0 + 0.3 + 0 + 2.7 + 0.4$
$E(Z) = 5$