题目

2.利用极限存在的准则证明:-|||-(1) lim _(narrow infty )n(dfrac (1)({n)^2+pi }+dfrac (1)({n)^2+2pi }+... +dfrac (1)({n)^2+npi })= 1.

$\begin{aligned}2.&\text{ 利用极限存在的准则证明:}\$1)&\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)=1\end{aligned}$ .

题目解答

答案

证明：

$n\cdot\frac{n}{n^{2}+n\pi}\leqslant n\Big(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n\pi}\Big)\leqslant n\cdot\frac{n}{n^{2}+\pi},$

而 $\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{n}{n^{2}+n\pi}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{\pi}{n}}=1,$

$\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{n}{n^{2}+\pi}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{\pi}{n^{2}}}=1$

再由夹逼准则可得

$\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)=1$

解析

步骤 1：确定不等式关系
首先，我们注意到每一项 $\dfrac{1}{{n}^{2}+k\pi}$ 都是正的，并且随着 $k$ 的增加而减小。因此，我们可以找到一个上界和下界来夹逼这个序列。

步骤 2：计算上界和下界
上界：$n(\dfrac{1}{{n}^{2}+\pi}+\dfrac{1}{{n}^{2}+2\pi}+\cdots+\dfrac{1}{{n}^{2}+n\pi})$ 的每一项都小于等于 $\dfrac{1}{{n}^{2}+\pi}$，因此整个和小于等于 $n\cdot\dfrac{n}{{n}^{2}+\pi}$。
下界：$n(\dfrac{1}{{n}^{2}+\pi}+\dfrac{1}{{n}^{2}+2\pi}+\cdots+\dfrac{1}{{n}^{2}+n\pi})$ 的每一项都大于等于 $\dfrac{1}{{n}^{2}+n\pi}$，因此整个和大于等于 $n\cdot\dfrac{n}{{n}^{2}+n\pi}$。

步骤 3：计算极限
计算上界和下界的极限，我们发现它们都趋近于1。因此，根据夹逼准则，原序列的极限也是1。