2.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，而当xin(0,1)时，f(x)≠0，证明：对任意自然数n，存在xiin(0,1)使得(nf'(xi))/(f(xi))=(f'(1-xi))/(f(1-xi)).

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用以及辅助函数的构造能力。关键在于通过构造适当的辅助函数，将问题转化为罗尔定理的条件，从而找到所需的点$\xi$。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：利用题目中的条件$f(0)=0$和$f(x)\neq0$（在$(0,1)$内），构造一个在端点处函数值相等的辅助函数$F(x)$。
2. 应用罗尔定理：通过验证$F(x)$满足罗尔定理的条件（连续、可导、端点值相等），得出存在$\xi$使得$F'(\xi)=0$。
3. 导数分析：对$F(x)$求导后，通过代数变形得到目标等式。

破题关键点：

• 辅助函数的选择：选择$F(x)=[f(x)]^n f(1-x)$，使得$F(0)=F(1)=0$，并利用其导数形式与题目目标等式相关联。
• 非零性保证：利用$f(x)\neq0$（在$(0,1)$内）确保除法运算的合法性。

步骤1：构造辅助函数
定义辅助函数：
$F(x) = [f(x)]^n f(1-x)$
由于$f(x)$在$[0,1]$上连续且可导，$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。

步骤2：验证端点值相等
计算$F(0)$和$F(1)$：

• $F(0) = [f(0)]^n f(1) = 0^n \cdot f(1) = 0$
• $F(1) = [f(1)]^n f(0) = [f(1)]^n \cdot 0 = 0$

因此，$F(0) = F(1) = 0$，满足罗尔定理的条件。

步骤3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi) = 0$。

步骤4：计算导数$F'(x)$
对$F(x)$求导：
$\begin{aligned}F'(x) &= \frac{d}{dx} \left( [f(x)]^n f(1-x) \right) \\&= n [f(x)]^{n-1} f'(x) \cdot f(1-x) + [f(x)]^n \cdot (-f'(1-x)) \\&= [f(x)]^{n-1} \left[ n f'(x) f(1-x) - f(x) f'(1-x) \right]\end{aligned}$

步骤5：令$F'(\xi)=0$并变形
由$F'(\xi)=0$得：
$n f'(\xi) f(1-\xi) - f(\xi) f'(1-\xi) = 0$
移项并两边除以$f(\xi) f(1-\xi)$（非零）：
$\frac{n f'(\xi)}{f(\xi)} = \frac{f'(1-\xi)}{f(1-\xi)}$
即得所证等式。