设矩阵 A=(a1,a2,a3,a4), 其中 a2,a3,a4 线性无关 ,a1=2a2−a3, 向量 b=a1+a2+a3+a4 ，求方程组 Ax=b 的通解。

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组通解的求解方法，涉及矩阵秩的确定、齐次方程组基础解系的求解以及特解的寻找。

解题核心思路：

1. 确定矩阵秩：根据列向量的线性相关性，判断矩阵的秩。
2. 求齐次方程组通解：通过分析列向量关系，建立齐次方程组并求解基础解系。
3. 找非齐次方程特解：结合向量表达式直接构造特解。
4. 合成通解：齐次通解与特解结合。

破题关键点：

• 利用列向量关系确定秩：已知$a_2,a_3,a_4$线性无关，且$a_1=2a_2-a_3$，故$R(A)=3$。
• 齐次方程解的结构：通过列向量线性组合为零的条件，建立方程组求解。
• 特解的构造：直接代入$x=(1,1,1,1)^T$验证是否满足$Ax=b$。

1. 确定矩阵秩

• 已知$a_2,a_3,a_4$线性无关，故秩至少为3。
• $a_1=2a_2-a_3$可由$a_2,a_3$线性表示，因此矩阵$A$的秩仍为3，即$R(A)=3$。

2. 求齐次方程组$Ax=0$的通解

齐次方程为$x_1a_1 + x_2a_2 + x_3a_3 + x_4a_4 = 0$。代入$a_1=2a_2-a_3$得：
$(2x_1 + x_2)a_2 + (-x_1 + x_3)a_3 + x_4a_4 = 0$
因$a_2,a_3,a_4$线性无关，系数必为零：
$\begin{cases}2x_1 + x_2 = 0 \\-x_1 + x_3 = 0 \\x_4 = 0\end{cases}$
解得基础解系为$(1, -2, 1, 0)^T$，通解为：
$x^* = k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}$

3. 求非齐次方程组$Ax=b$的特解

向量$b = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$，令$x=(1,1,1,1)^T$，则：
$Ax = a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 1 + a_3 \cdot 1 + a_4 \cdot 1 = b$
故$x=(1,1,1,1)^T$是特解。

4. 合成通解

通解为齐次解与特解之和：
$X = x^* + x = k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$