题目
设ρ₁是定义在集合A到B上的二元关系,ρ₂是定义在集合B到C上的二元关系,则ρ₁·ρ₂=ρ₂·ρ₁( )A 错误B 正确
设ρ₁是定义在集合A到B上的二元关系,ρ₂是定义在集合B到C上的二元关系,则ρ₁·ρ₂=ρ₂·ρ₁( )
A 错误
B 正确
题目解答
答案
解答：
正确答案是 A 错误。
解释：
关系的复合运算不满足交换律，即一般情况下，ρ₁·ρ₂ ≠ ρ₂·ρ₁。
关系复合运算的定义：
设 ρ₁ 是从集合 A 到集合 B 的关系，ρ₂ 是从集合 B 到集合 C 的关系，则 ρ₁·ρ₂ 是从集合 A 到集合 C 的关系，定义如下：
对于任意 a ∈ A 和 c ∈ C，(a, c) ∈ ρ₁·ρ₂ 当且仅当存在 b ∈ B 使得 (a, b) ∈ ρ₁ 且 (b, c) ∈ ρ₂。
反例：
考虑以下关系：
A = {1, 2}
B = {3, 4}
C = {5, 6}
ρ₁ = {(1, 3), (2, 4)}
ρ₂ = {(3, 5), (4, 6)}
则：
ρ₁·ρ₂ = {(1, 5), (2, 6)}
ρ₂·ρ₁ = ∅ (空集)
由于 ρ₁·ρ₂ ≠ ρ₂·ρ₁，因此关系复合运算不满足交换律。
结论：
因此，对于一般的关系 ρ₁ 和 ρ₂，ρ₁·ρ₂ ≠ ρ₂·ρ₁。
解析
考查要点：本题主要考查二元关系的复合运算是否满足交换律的判断能力。
核心思路：理解关系复合运算的定义，明确其运算顺序对结果的影响，通过反例验证交换律不成立。
关键点：
- 关系复合运算的定义：ρ₁·ρ₂表示从A到C的关系，要求存在中间元素连接两个关系。
- 运算顺序不可交换：若交换运算顺序，可能导致中间元素无法匹配，从而结果为空集。
关系复合运算的定义：
设ρ₁是集合A到B的关系，ρ₂是集合B到C的关系，则ρ₁·ρ₂是从A到C的关系，满足：
对于任意a∈A，c∈C，若存在b∈B使得(a,b)∈ρ₁且(b,c)∈ρ₂，则(a,c)∈ρ₁·ρ₂。
反例验证：
构造具体集合和关系：
- A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {5, 6}
- ρ₁ = {(1,3), (2,4)}（A到B的关系）
- ρ₂ = {(3,5), (4,6)}（B到C的关系）
-
计算ρ₁·ρ₂：
- 1通过ρ₁关联到3，再通过ρ₂关联到5 → (1,5)
- 2通过ρ₁关联到4，再通过ρ₂关联到6 → (2,6)
- 结果：ρ₁·ρ₂ = {(1,5), (2,6)}
-
计算ρ₂·ρ₁：
- ρ₂是B到C的关系，ρ₁是A到B的关系，此时需要从C到B再到A。
- 但ρ₂中的元素是(b,c)，而ρ₁中的元素是(a,b)，交换后需要存在c∈C，使得(c,c')∈ρ₂和(c',a)∈ρ₁。
- 由于ρ₂中的元素形如(b,c)，而ρ₁中的元素形如(a,b)，无法找到共同的中间元素，因此ρ₂·ρ₁为空集。
结论：ρ₁·ρ₂ ≠ ρ₂·ρ₁，说明关系复合运算不满足交换律。