lim _(xarrow alpha )dfrac (sin x-sin alpha )(x-alpha ).

考查要点：本题主要考查利用三角恒等式和极限公式求解三角函数的极限问题，涉及差化积公式和重要极限公式的应用。

解题核心思路：
将分子$\sin x - \sin \alpha$通过差化积公式变形，使分式中的$(x - \alpha)$项与分子中的对应项约简，进而利用$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$的极限公式求解。

破题关键点：

1. 正确应用差化积公式将分子转化为乘积形式；
2. 约简分式后分离出可直接应用重要极限公式的形式；
3. 结合余弦函数的连续性求出最终结果。

步骤1：应用差化积公式
根据三角恒等式$\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，将分子变形：
$\sin x - \sin \alpha = 2\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right).$

步骤2：约简分式
原式变为：
$\lim_{x \to \alpha} \frac{2\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)}{x - \alpha} = \lim_{x \to \alpha} \frac{\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)}{\frac{x - \alpha}{2}}.$

步骤3：拆分极限并应用重要公式
令$t = \frac{x - \alpha}{2}$，当$x \to \alpha$时，$t \to 0$，则：
$\lim_{t \to 0} \cos\left(\frac{\alpha + (\alpha + 2t)}{2}\right) \cdot \frac{\sin t}{t} = \cos \alpha \cdot 1 = \cos \alpha.$