题目

lim _(x arrow 3) (sqrt(x+1)-2)/(x-3)

$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$

题目解答

答案

将原式分子有理化，得
$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+1 - 4}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)}$
消去 $x-3$（$x \neq 3$），得
$\lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$
答案： $\boxed{\frac{1}{4}}$

解析

本题考查函数极限的计算，解题思路是通过分子有理化的方法消除分母为零的情况，进而求出极限值。

  1. 分子有理化：
    对于原式$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$，为了消除分子中的根式，我们给分子分母同时乘以$\sqrt{x + 1} + 2$，根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，则有：
    $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)}=\lim_{x \to 3} \frac{(x + 1) - 2^2}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}=\lim_{x \to 3} \frac{x + 1 - 4}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}=\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}$
  2. 约去公因式：
    因为$x\to 3$，即$x\neq 3$，所以分子分母的$x - 3$可以约去，得到：
    $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}=\lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}$
  3. 代入求值：
    将$x = 3$代入$\frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}$可得：
    $\lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}=\frac{1}{\sqrt{3 + 1} + 2}=\frac{1}{\sqrt{4} + 2}=\frac{1}{2 + 2}=\frac{1}{4}$