题目

一简谐振动的振动曲线如图11-30所示。(1)振动初相和角频率。(2)写出振动方程。(3)求a,b两点的相位。(4)a状态所对应的时刻。(5)由旋转矢量法求出由状态a到状态b需要的时间。4 y/m-|||-6 --|||-3 -- -- b-|||-0 2-|||-1-|||--3 -- /s-|||--6-|||-a-|||-图 -30=30 习题 11-22 图

一简谐振动的振动曲线如图11-30所示。(1)振动初相和角频率。(2)写出振动方程。(3)求a,b两点的相位。(4)a状态所对应的时刻。(5)由旋转矢量法求出由状态a到状态b需要的时间。

题目解答

1. 从图中可以看到，振动在 t = 0时刻的位置是 y = 0，并且是从负向开始向正向运动的。因此，初相

角频率可以通过周期 T 计算得到。图中显示一个完整周期的时间是 4 秒，因此：

角频率为：

2. 振动方程的一般形式为：

从图中可以看到振幅 A = 3m，初相，角频率。因此振动方程为：

3. 点a在 t = 1秒时的位置。代入振动方程：

因此，点 a的相位为：

点 b在 t = 2秒时的位置。代入振动方程：

因此，点 b 的相位为：

4. 点 a 对应的时刻是 t = 1秒。

5. 由能量关系求出由静止状态到 a 状态所需的时间：

由静止状态到 a 状态所需的时间就是从 t = 0 到 t = 1秒的时间。因此所需时间为 1秒。

本题考查简谐振动的基本性质，包括初相、角频率、振动方程、相位计算以及旋转矢量法的应用。解题核心在于：

第（1）题

振动初相

$t=0$时，位移$y=0$，且速度方向为正（从负向运动到正向），说明振动处于平衡位置向正方向运动的状态。
对应简谐振动方程$y=A\sin(\omega t + \phi)$，此时$\sin(\phi) = 0$且$\cos(\phi) < 0$，故$\phi = -\dfrac{\pi}{2}$。

角频率

从图中可看出振动周期$T=4\ \text{s}$，角频率$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad/s}$。

第（2）题

振动方程

振幅$A=3\ \text{m}$，代入初相$\phi = -\dfrac{\pi}{2}$和$\omega = \dfrac{\pi}{2}$，得：
$y = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{2}t - \dfrac{\pi}{2}\right)$

第（3）题

点a的相位

点a对应$t=1\ \text{s}$，代入相位公式$\omega t + \phi$：
$\dfrac{\pi}{2} \cdot 1 - \dfrac{\pi}{2} = 0$

点b的相位

点b对应$t=2\ \text{s}$，代入相位公式：
$\dfrac{\pi}{2} \cdot 2 - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$

第（4）题

a状态对应时刻

第（5）题

时间计算

点a到点b的相位差$\Delta \phi = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2}$。
时间差$\Delta t = \dfrac{\Delta \phi}{\omega} = \dfrac{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}} = 1\ \text{s}$。