求旋转曲面=(x)^2+(y)^2在点=(x)^2+(y)^2处的法线方程A.=(x)^2+(y)^2B.=(x)^2+(y)^2C.=(x)^2+(y)^2D.=(x)^2+(y)^2

本题考查旋转曲面的法线方程的求解，解题的关键在于先求出曲面在给定点处的法向量，再利用点向式方程得到法线方程。

1. 构造函数：
   设$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z$，这样原旋转曲面方程$z = x^{2}+y^{2}$就可以表示为$F(x,y,z)=0$的形式。
2. 求偏导数：
   • 对$F(x,y,z)$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=2x$。
   • 对$F(x,y,z)$关于$y$求偏导数，同理可得$F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=2y$。
   • 对$F(x,y,z)$关于$z$求偏导数，可得$F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。
3. 求法向量：
   将点$(1,-2,5)$代入偏导数中，得到该点处的法向量$\vec{n}$的坐标。
   • $F_{x}(1,-2,5)=2\times1 = 2$。
   • $F_{y}(1,-2,5)=2\times(-2)= - 4$。
   • $F_{z}(1,-2,5)= - 1$。
     所以，曲面在点$(1,-2,5)$处的法向量$\vec{n}=(2,-4,-1)$。
4. 求法线方程：
   根据空间直线的点向式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量），已知点$(1,-2,5)$和法向量$\vec{n}=(2,-4,-1)$，可得旋转曲面在点$(1,-2,5)$处的法线方程为$\frac{x - 1}{2}=\frac{y + 2}{-4}=\frac{z - 5}{-1}$。