14.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形,其上半部均匀分布有电荷量 +Q, 下半部均匀分-|||-布有电荷量 -Q, 如图所示,试求圆心O处的电场强度.-|||-++-|||-+Q-|||-R-|||-一Q O x-|||-第14题图

考查要点：本题主要考查连续带电体电场的叠加计算，涉及微元法、对称性分析及积分运算。

解题核心思路：

1. 微元法：将半圆分为上半部（+Q）和下半部（-Q），分别取微小电荷元，计算其在圆心O处的场强。
2. 对称性简化：利用对称性判断x分量相互抵消，只需计算y分量。
3. 积分求和：对上下两部分的电荷分别积分，最终合成总场强。

破题关键点：

• 线电荷密度计算：根据电荷分布均匀性，确定上下两部分的线电荷密度。
• 场强分量分解：将微元场强分解为x、y分量，注意正负电荷场强方向的差异。
• 积分上下限：明确上下两部分的积分区间，正确处理符号。

电荷分布与微元场强

1. 线电荷密度：

   • 上半部（θ从0到π/2）：$\lambda_{\text{上}} = \dfrac{2Q}{\pi R}$
   • 下半部（θ从π/2到π）：$\lambda_{\text{下}} = -\dfrac{2Q}{\pi R}$

2. 微元电荷：
   $dq = \lambda R d\theta = \dfrac{2Q}{\pi} d\theta$

3. 微元场强大小：
   $dE = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{|dq|}{R^2} = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} d\theta$

场强分量分解

• 上半部电荷（+Q）：

  • $dE_x = dE \sin\theta = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \sin\theta d\theta$（沿x正方向）
  • $dE_y = -dE \cos\theta = -\dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \cos\theta d\theta$（沿y负方向）

• 下半部电荷（-Q）：

  • $dE_x = -dE \sin\theta$（沿x负方向）
  • $dE_y = dE \cos\theta$（沿y正方向）

对称性分析

• x分量总和：
  上下半部的$x$分量大小相等、方向相反，总和为$E_x = 0$。

y分量积分计算

• 上半部积分（θ从0到π/2）：
  $\displaystyle \int_0^{\pi/2} (-dE \cos\theta) d\theta = -\dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \int_0^{\pi/2} \cos\theta d\theta = -\dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \cdot 1$

• 下半部积分（θ从π/2到π）：
  $\displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi} (dE \cos\theta) d\theta = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \int_{\pi/2}^{\pi} \cos\theta d\theta = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \cdot (-1)$

• 总y分量：
  $E_y = -\dfrac{Q}{\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$