题目
5.单选题(20分) 已知Σ是旋转抛物面z=(x^2+y^2)/2介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧，则曲面积分iintlimits_(Sigma)(z^2+x)dydz-zdxdy= (A)(1)/(2)pi (B)2π (C)π (D)8π A. D B. C C. A D. B
5.单选题(20分) 已知Σ是旋转抛物面$z=(x^{2}+y^{2})/2$介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧，则曲面积分$\iint\limits_{\Sigma}(z^{2}+x)dydz-zdxdy=$ (A)$\frac{1}{2}\pi$ (B)2π (C)π (D)8π
A. D
B. C
C. A
D. B
A. D
B. C
C. A
D. B
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma$ 补充为平面 $z=2$ 上的圆盘 $\Sigma_1$，形成闭合曲面。由高斯公式，闭合曲面的通量为零，故原积分等于 $\Sigma_1$ 上的通量。
$\Sigma_1$ 取上侧，$dxdy$ 正向，积分变为 $\iint_{\Sigma_1} z \, dxdy$。
在 $\Sigma_1$ 上，$z=2$，面积为 $\pi r^2 = 4\pi$，结果为 $2 \times 4\pi = 8\pi$。
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：确定曲面和积分区域
旋转抛物面$z=(x^{2}+y^{2})/2$介于平面$z=0$及$z=2$之间，形成一个下侧的曲面$\Sigma$。积分区域为$\Sigma$。
步骤 2：应用高斯公式
将曲面$\Sigma$补充为平面$z=2$上的圆盘$\Sigma_1$，形成闭合曲面。由高斯公式，闭合曲面的通量为零，故原积分等于$\Sigma_1$上的通量。$\Sigma_1$取上侧，$dxdy$正向，积分变为$\iint_{\Sigma_1} z \, dxdy$。
步骤 3：计算$\Sigma_1$上的通量
在$\Sigma_1$上，$z=2$，面积为$\pi r^2 = 4\pi$，结果为$2 \times 4\pi = 8\pi$。
旋转抛物面$z=(x^{2}+y^{2})/2$介于平面$z=0$及$z=2$之间，形成一个下侧的曲面$\Sigma$。积分区域为$\Sigma$。
步骤 2：应用高斯公式
将曲面$\Sigma$补充为平面$z=2$上的圆盘$\Sigma_1$，形成闭合曲面。由高斯公式，闭合曲面的通量为零，故原积分等于$\Sigma_1$上的通量。$\Sigma_1$取上侧，$dxdy$正向，积分变为$\iint_{\Sigma_1} z \, dxdy$。
步骤 3：计算$\Sigma_1$上的通量
在$\Sigma_1$上，$z=2$，面积为$\pi r^2 = 4\pi$，结果为$2 \times 4\pi = 8\pi$。