13. (4.0分) 设Σ是空间区域Ω的外表面，下述计算中正确运用高斯公式的是A. iintlimits_(Σ_{par)}x^2dydz+(z+2y)dxdy=iiintlimits_(Omega)(2x+1)dxdydzB. iintlimits_(Σ_{par)}x^2dydz+(z+2y)dxdy=iiintlimits_(Omega)(2x+2)dxdydzC. iintlimits_(Σ_{par)}(x^3-yz)dydz-2x^2ydzdx+zdx dy=-iiintlimits_(Omega)(x^2+1)dxdydzD. iintlimits_(Σ_{par)}(x^3-yz)dydz-2x^2ydzdx+zdx dy=iiintlimits_(Omega)(5x^2+1)dxdydz

本题考查高斯公式的运用。高斯公式为$\underset{\varSigma }{∯}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$，其中$\varSigma$是空间闭区域$\varOmega$的边界曲面，取外侧。我们需要根据此公式对每个选项逐一进行分析。

选项A

对于$\underset{\varSigma }{∯}{x}^{2}dydz+(z + 2y)dxdy$，这里$P = x^{2}$，$Q = 0$，$R = z + 2y$。

• 计算$\frac{\partial P}{\partial x}$：
  对$P = x^{2}$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial x}=2x$。
• 计算$\frac{\partial Q}{\partial y}$：
  因为$Q = 0$，所以$\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial 0}{\partial y}=0$。
• 计算$\frac{\partial R}{\partial z}$：
  对$R = z + 2y$关于$z$求偏导数，可得$\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial (z + 2y)}{\partial z}=1$。
• 计算$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$：
  将上述结果代入可得$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=2x + 0 + 1 = 2x + 1$。
  根据高斯公式$\underset{\varSigma }{∯}{x}^{2}dydz+(z + 2y)dxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(2x + 1)dxdydz$，所以选项A正确。

选项B

由选项A的分析可知$\underset{\varSigma }{∯}{x}^{2}dydz+(z + 2y)dxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(2x + 1)dxdydz\neq\underset{\varOmega }{\iiint }(2x + 2)dxdydz$，所以选项B错误。

选项C

对于$\underset{\varSigma }{∯}({x}^{3}-yz)dydz - 2{x}^{2}ydzdx + zdxdy$，这里$P = x^{3}-yz$，$Q = -2x^{2}y$，$R = z$。

• 计算$\frac{\partial P}{\partial x}$：
  对$P = x^{3}-yz$关于$x$求偏导数，可得$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial (x^{3}-yz)}{\partial x}=3x^{2}$。
• 计算$\frac{\partial Q}{\partial y}$：
  对$Q = -2x^{2}y$关于$y$求偏导数，可得$\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial (-2x^{2}y)}{\partial y}=-2x^{2}$。
• 计算$\frac{\partial R}{\partial z}$：
  对$R = z$关于$z$求偏导数，可得$\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial z}=1$。
• 计算$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$：
  将上述结果代入可得$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=3x^{2}-2x^{2}+1 = x^{2}+1$。
  根据高斯公式$\underset{\varSigma }{∯}({x}^{3}-yz)dydz - 2{x}^{2}ydzdx + zdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(x^{2}+1)dxdydz\neq-\underset{\varOmega }{\iiint }(x^{2}+1)dxdydz$，所以选项C错误。

选项D

由选项C的分析可知$\underset{\varSigma }{∯}({x}^{3}-yz)dydz - 2{x}^{2}ydzdx + zdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(x^{2}+1)dxdydz\neq\underset{\varOmega }{\iiint }(5x^{2}+1)dxdydz$，所以选项D错误。