求：int dfrac (1-ln x)({(x-ln x))^2}dx

考查要点：本题主要考查分式积分中的换元法应用，需要学生观察分母与分子的结构关系，灵活选择替换变量，将复杂积分转化为简单形式。

解题核心思路：

1. 变形分母：将分母$x - \ln x$改写为$x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$，简化表达式。
2. 选择替换变量：设$u = 1 - \dfrac{\ln x}{x}$，利用其导数与分子的关联性，将积分转化为关于$u$的简单积分。
3. 回代求解：通过变量替换完成积分后，将结果还原为原变量$x$的形式。

破题关键点：

• 识别分母的变形方式，将$x - \ln x$与$1 - \dfrac{\ln x}{x}$关联。
• 正确计算替换变量的微分，发现分子中的$(1 - \ln x)/x^2 \, dx$与$du$的关系。

步骤1：变形分母
将分母$x - \ln x$改写为$x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$，则原积分变为：
$\int \frac{1 - \ln x}{\left[x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)\right]^2} \, dx = \int \frac{1 - \ln x}{x^2 \left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)^2} \, dx.$

步骤2：变量替换
设$u = 1 - \dfrac{\ln x}{x}$，计算其微分：
$du = -\frac{1 - \ln x}{x^2} \, dx \quad \Rightarrow \quad (1 - \ln x) \, dx = -x^2 \, du.$

步骤3：代入积分
将原积分中的$(1 - \ln x)/x^2 \, dx$替换为$-du$，积分变为：
$\int \frac{1}{\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)^2} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} \, dx = -\int \frac{1}{u^2} \, du.$

步骤4：求解新积分
计算关于$u$的积分：
$-\int u^{-2} \, du = -\left(-u^{-1}\right) + C = \frac{1}{u} + C.$

步骤5：回代变量
将$u = 1 - \dfrac{\ln x}{x}$代入，化简得：
$\frac{1}{1 - \dfrac{\ln x}{x}} + C = \frac{x}{x - \ln x} + C.$