题目
设X和Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为F_(X)(x)，F_(Y)(y)。则Z=minX,Y的分布函数是()。A. F_(Z)(z)=F_(X)(z)B. F_(Z)(z)=1-[1-F_(X)(z)][1-F_(Y)(z)]C. F_(Z)(z)=F_(Y)(z)D. F_(Z)(z)=minF_{X)(z),F_(Y)(z)}
设$X$和$Y$是相互独立的随机变量，其分布函数分别为$F_{X}(x)$，$F_{Y}(y)$。则$Z=\min\{X,Y\}$的分布函数是()。
A. $F_{Z}(z)=F_{X}(z)$
B. $F_{Z}(z)=1-[1-F_{X}(z)][1-F_{Y}(z)]$
C. $F_{Z}(z)=F_{Y}(z)$
D. $F_{Z}(z)=\min\{F_{X}(z),F_{Y}(z)\}$
题目解答
答案
B. $F_{Z}(z)=1-[1-F_{X}(z)][1-F_{Y}(z)]$
解析
步骤 1：定义随机变量$Z$
设 $ Z = \min\{X, Y\} $，即$Z$取$X$和$Y$中的较小值。
步骤 2：计算$Z$的分布函数$F_{Z}(z)$
$Z \leq z$ 当且仅当 $X \leq z$ 或 $Y \leq z$。利用补集规则和独立性，有： \[ P(Z \leq z) = 1 - P(Z > z) = 1 - P(X > z, Y > z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]. \]
步骤 3：得出$Z$的分布函数
因此，$ Z $ 的分布函数为： \[ F_Z(z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]. \]
设 $ Z = \min\{X, Y\} $，即$Z$取$X$和$Y$中的较小值。
步骤 2：计算$Z$的分布函数$F_{Z}(z)$
$Z \leq z$ 当且仅当 $X \leq z$ 或 $Y \leq z$。利用补集规则和独立性，有： \[ P(Z \leq z) = 1 - P(Z > z) = 1 - P(X > z, Y > z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]. \]
步骤 3：得出$Z$的分布函数
因此，$ Z $ 的分布函数为： \[ F_Z(z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]. \]